水圧と浮力

要点整理

圧力とは

面を垂直に押す力を、その力がはたらく面積で割った量を圧力といいます。力の大きさを $F$、力がはたらく面積を $S$ とすると、

$P = \frac{F}{S}$

圧力の単位はパスカル($\mathrm{Pa}$)で、$1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ です。同じ力でも、面積が小さいほど圧力は大きくなります(画びょうの先が鋭いのはこのためです)。

水圧の公式

水などの液体の中では、その場所より上にある液体の重さの分だけ、圧力が余分に加わります。液体の密度を $\rho$、水面からの深さを $h$、水面での圧力(大気圧)を $P_0$ とすると、深さ $h$ での水圧 $P$ は、

$P = P_0 + \rho g h$

で表されます。深さが増すほど、水圧は比例して大きくなります。この式は、水面から深さ $h$、断面積 $S$ の柱状の水を考え、その柱にはたらく重力とつり合う力を考えることで導けます(柱の底面を上向きに支える力 $PS$ が、上面を押す大気圧の力 $P_0S$ と、柱自身の重さ $\rho\, S h\, g$ の和に等しいと考えると、$PS = P_0 S + \rho S h g$ となり、両辺を $S$ で割ると上の式になります)。

パスカルの原理

密閉された容器の中の流体の一部に圧力を加えると、その圧力の変化は、流体の中のあらゆる場所に、弱まることなくそのまま伝わります。これをパスカルの原理といいます。断面積の異なる2つのピストンをつないだ油圧装置では、小さな力を加えたピストンの圧力変化が、大きな断面積を持つもう一方のピストンにもそのまま伝わるため、面積比の分だけ大きな力を取り出すことができます。

浮力とアルキメデスの原理

水中に沈めた物体には、上面よりも下面の方が深い位置にあるため、下面にはたらく水圧の方が上面にはたらく水圧より大きくなります。この上下の圧力差により、物体全体としては上向きの力を受けます。これが浮力です。

浮力の大きさは、物体が押しのけている流体の体積を $V$、流体の密度を $\rho$ とすると、

$F = \rho V g$

で求められます。これをアルキメデスの原理といいます。物体自身の密度や重さには関係なく、「押しのけた流体の重さ」だけで浮力が決まる点に注意しましょう。

物体が水に浮くか沈むかは、物体の密度 $\rho_{\text{物}}$ と流体の密度 $\rho$ の大小関係で決まります。

• $\rho_{\text{物}} < \rho$ のとき:物体は浮き、一部だけが沈んだ状態でつり合う
• $\rho_{\text{物}} > \rho$ のとき:物体は沈み続け、底に沈む
• $\rho_{\text{物}} = \rho$ のとき:物体は流体中の任意の位置でつり合う

物体が水面に浮いて静止しているとき、物体にはたらく重力と浮力がつり合っています。物体の体積を $V$、沈んでいる部分の体積を $V'$ とすると、

$\rho_{\text{物}} V g = \rho V' g \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\text{物}} V = \rho V'$

が成り立ちます。

下のシミュレーションで、物体の密度と液体の密度を変えながら、物体が浮くか沈むか、どこまで沈むかを確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

底面積 $0.02\ \mathrm{m^2}$ の円柱状のおもりを、水中の深さ $3\ \mathrm{m}$ の位置に沈めた。このときおもりの底面にはたらく水の圧力と、底面を押す力の大きさを求めよ。大気圧を $P_0=1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$、水の密度を $\rho=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$、$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

水圧の公式 $P=P_0+\rho g h$ に、$P_0=1.0\times10^5$、$\rho=1.0\times10^3$、$g=9.8$、$h=3$ を代入します。

$P = 1.0\times10^5 + 1.0\times10^3\times9.8\times3 = 1.0\times10^5 + 2.94\times10^4 = 1.294\times10^5\ \mathrm{Pa}$

底面を押す力は、$F=PS$ より、

$F = 1.294\times10^5\times0.02 \approx 2.59\times10^3\ \mathrm{N}$

答え:水圧は約 $1.29\times10^5\ \mathrm{Pa}$、底面を押す力は約 $2.59\times10^3\ \mathrm{N}$

例題2(標準)

問題

体積 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ の物体を水中に完全に沈めた。この物体にはたらく浮力の大きさを求めよ。水の密度を $1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$、$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。また、この物体の質量が $1.5\ \mathrm{kg}$ のとき、物体は浮くか沈むか答えよ。

解答・解説を見る

浮力の大きさ

アルキメデスの原理 $F=\rho V g$ に、$\rho=1.0\times10^3$、$V=2.0\times10^{-3}$、$g=9.8$ を代入します。

$F = 1.0\times10^3\times2.0\times10^{-3}\times9.8 = 19.6\ \mathrm{N}$

浮くか沈むか

物体にはたらく重力は、

$mg = 1.5\times9.8 = 14.7\ \mathrm{N}$

浮力($19.6\ \mathrm{N}$)の方が重力($14.7\ \mathrm{N}$)より大きいので、物体は浮き上がり、水面で一部が沈んだ状態でつり合います。

答え:浮力は $19.6\ \mathrm{N}$。浮力が重力より大きいため、物体は浮く。

例題3(応用)

問題

密度 $800\ \mathrm{kg/m^3}$、体積 $5.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ の物体を水に浮かべた。水の密度を $1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ とするとき、水面下に沈んでいる部分の体積 $V'$ を求めよ。

解答・解説を見る

物体が水面に浮いて静止しているとき、重力と浮力がつり合っています。

$\rho_{\text{物}} V g = \rho V' g$

両辺の $g$ を消去して $V'$ について解くと、

$V' = \frac{\rho_{\text{物}}}{\rho}V$

数値を代入すると、

$V' = \frac{800}{1.0\times10^3}\times5.0\times10^{-3} = 0.8\times5.0\times10^{-3} = 4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$

答え:$V' = 4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$(全体積の80%が水面下に沈む)

練習問題

問題

密度 $900\ \mathrm{kg/m^3}$ の氷が水(密度 $1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$)に浮いているとき、水面上に出ている部分の体積は、氷全体の体積の何%か求めよ。

答え

水面下の割合は $\dfrac{\rho_{\text{物}}}{\rho}=\dfrac{900}{1000}=0.9$ なので90%が水中に沈み、水面上に出ているのは残りの10%。