放物運動

要点整理

物理基礎では、物体を水平方向に投げ出す「水平投射」を学びました。ここでは、物体を斜め上方に投げ出す斜方投射を考えます。ボールを斜めに投げたときに描く放物線を思い浮かべてください。この運動も、前のセクションで学んだ「x方向とy方向を独立に考える」という考え方を使えば、水平投射と同じやり方で解くことができます。

運動の分解

初速度の大きさを $v_0$、水平方向(x軸)となす角を $\theta$ とします。まず、初速度をx成分とy成分に分解します。

$v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$

投げ出した後、物体には重力だけがはたらきます。重力は鉛直下向き(y軸のマイナス方向)にだけはたらくので、

• x方向:力がはたらかないので、速度は変化しません(等速直線運動)。
• y方向:重力による加速度 $-g$ が一定にはたらきます(鉛直投げ上げと同じ運動)。

物理基礎の等加速度直線運動の公式を、x方向・y方向それぞれに当てはめると、時刻 $t$ における位置は、

$x = v_0\cos\theta \cdot t$

$y = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

となります。y方向の式は、初速度 $v_0\sin\theta$ で鉛直投げ上げをしたときの公式 $y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$ そのものです。また、y方向の速度は時刻とともに変化し、

$v_y = v_0\sin\theta - gt$

x方向の速度は $v_x = v_0\cos\theta$ のまま変化しません。

最高点に達する時刻と高さ

最高点では、鉛直方向の速度がちょうど0になります(それより前は上昇、それより後は下降するため)。$v_y = 0$ とおくと、

$0 = v_0\sin\theta - gt_{top}$

これを $t_{top}$ について解くと、

$t_{top} = \frac{v_0\sin\theta}{g}$

この時刻を $y$ の式に代入すると、最高点の高さ $H$ が求まります。

$H = v_0\sin\theta \cdot t_{top} - \frac{1}{2}g t_{top}^2 = v_0\sin\theta \cdot \frac{v_0\sin\theta}{g} - \frac{1}{2}g\left(\frac{v_0\sin\theta}{g}\right)^2$

1つ目の項は $\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$、2つ目の項は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{g} = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$ になるので、

$H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{g} - \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

水平到達距離

投げ出した点と同じ高さ($y=0$)に戻ってくるまでの時間を $T$ とすると、放物線の形が左右対称であることから、$T$ は最高点に達する時刻のちょうど2倍になります。

$T = 2t_{top} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$

このとき、水平方向に進んだ距離(水平到達距離 $R$)は、x方向の式にこの $T$ を代入すれば求まります。

$R = v_0\cos\theta \cdot T = v_0\cos\theta \cdot \frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$

ここで、三角関数の公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$(2倍角の公式)を使うと、

$R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$

という、見通しのよい形にまとまります。この式から、$\sin(2\theta)$ が最大値1をとるとき、つまり $2\theta = 90^\circ$、すなわち $\theta = 45^\circ$ のときに $R$ が最大になることがわかります。同じ速さで投げるなら、45°の角度で投げたときに一番遠くまで飛ぶ、ということです。

下のシミュレーションで、初速度の大きさと投げ出す角度を変えて、軌道の形や到達距離がどう変わるか確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

地面から、初速度20 m/s、水平から30°の角度で物体を投げ出しました。重力加速度を $g=9.8$ m/s²として、最高点の高さを求めなさい。

解答・解説を見る

最高点の高さの公式 $H = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$ を使います。$v_0=20$ m/s、$\theta=30^\circ$、$\sin30^\circ = 0.5$ なので、

$H = \frac{20^2 \times 0.5^2}{2\times 9.8} = \frac{400 \times 0.25}{19.6} = \frac{100}{19.6} \approx 5.1 \text{ m}$

したがって、最高点の高さは約5.1 mです。

例題2(標準)

問題

例題1と同じ条件(初速度20 m/s、角度30°)で投げ出したとき、水平到達距離を求めなさい。

解答・解説を見る

水平到達距離の公式 $R = \dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$ を使います。$2\theta = 60^\circ$、$\sin60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87$ なので、

$R = \frac{20^2 \times 0.87}{9.8} = \frac{400\times 0.87}{9.8} = \frac{346.4}{9.8} \approx 35.3 \text{ m}$

したがって、水平到達距離は約35 mです。

公式を使わずに、途中の手順を踏んで確かめることもできます。最高点に達する時刻は $t_{top} = \dfrac{v_0\sin\theta}{g} = \dfrac{20\times 0.5}{9.8}\approx 1.02$ sなので、落下までの全時間は $T = 2t_{top} \approx 2.04$ sです。水平方向の速度は $v_0\cos30^\circ = 20\times 0.87 \approx 17.3$ m/sなので、$R = 17.3 \times 2.04 \approx 35.3$ mとなり、公式の結果と一致します。

例題3(応用)

問題

同じ初速度の大きさ $v_0$ で物体を投げ出すとき、角度 $\theta=30^\circ$ で投げた場合と、角度 $\theta=60^\circ$ で投げた場合の水平到達距離を比べなさい。また、その理由を$\sin(2\theta)$に着目して説明しなさい。

解答・解説を見る

$\theta=30^\circ$ のとき、$2\theta = 60^\circ$ なので $\sin(2\theta) = \sin60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$。

$\theta=60^\circ$ のとき、$2\theta = 120^\circ$ なので $\sin(2\theta) = \sin120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$。

どちらも $\sin(2\theta)$ の値が同じ $\dfrac{\sqrt3}{2}$ になるので、水平到達距離の公式 $R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$ より、2つの角度での水平到達距離は等しくなります。

これは偶然ではなく、$\sin(2\theta)$ のグラフが $\theta=45^\circ$ を軸として左右対称であることによります。一般に、$\theta$ と $90^\circ - \theta$ の角度で投げると、$2\theta$ と $180^\circ - 2\theta$ の関係になり、$\sin(2\theta) = \sin(180^\circ-2\theta)$ が成り立つため($\sin$は $180^\circ$ から引いた角度でも同じ値をとる性質があります)、水平到達距離が一致するのです。$30^\circ$ と $60^\circ$ はちょうど $90^\circ$ を分け合う関係($30+60=90$)になっているため、この性質が当てはまります。

練習問題

問題

初速度15 m/s、水平から45°の角度で物体を投げ出しました。$g=9.8$ m/s²として、最高点の高さと水平到達距離をそれぞれ求めなさい。

答え

$\sin45^\circ=\cos45^\circ\approx0.71$、$\sin90^\circ=1$ を使います。

最高点の高さ:$H = \dfrac{15^2\times 0.71^2}{2\times9.8} = \dfrac{225\times0.5}{19.6}\approx5.7$ m

水平到達距離:$R = \dfrac{15^2\times 1}{9.8} = \dfrac{225}{9.8}\approx23.0$ m