抵抗の直列・並列接続

要点整理

前の単元「オームの法則と抵抗」では、抵抗が1個だけの回路を考えました。この単元では、抵抗を2個以上つないだときに、回路全体がどのようなふるまいをするかを学びます。抵抗のつなぎ方には、大きく分けて直列接続と並列接続の2種類があります。

直列接続

直列接続とは、電流の通り道が1本になるように抵抗を一列につなぐ方法です。電流は途中で枝分かれしないので、回路のどの場所でも電流の大きさは同じになります。これを式で表すと、抵抗 $R_1$、$R_2$ を流れる電流をそれぞれ $I_1$、$I_2$ として、

$ I_1 = I_2 $

が成り立ちます。一方、電源の電圧 $V$ は、それぞれの抵抗にかかる電圧 $V_1$、$V_2$ の和になります。

$ V = V_1 + V_2 $

ここで、$V_1 = I R_1$、$V_2 = I R_2$(直列なので電流は共通の値 $I$)ですから、

$ V = I R_1 + I R_2 = I(R_1 + R_2) $

となります。この式を、回路全体を1つの抵抗 $R$(合成抵抗といいます)とみなした式 $V = IR$ と見比べると、

$ R = R_1 + R_2 $

という関係が導かれます。つまり、直列接続の合成抵抗は、それぞれの抵抗の値を単純に足し合わせたものになります。抵抗を直列に増やすほど、電流は流れにくくなるということです。

並列接続

並列接続とは、電流の通り道が複数の枝に分かれるように抵抗を並べてつなぐ方法です。それぞれの枝は、同じ電源(同じ2点間)に直接つながっているため、各抵抗にかかる電圧はすべて等しくなります。

$ V_1 = V_2 = V $

一方、電源から流れ出た電流 $I$ は、枝分かれした後の電流 $I_1$、$I_2$ の和になります。

$ I = I_1 + I_2 $

ここで、オームの法則より $I_1 = \dfrac{V}{R_1}$、$I_2 = \dfrac{V}{R_2}$(並列なので電圧は共通の値 $V$)ですから、

$ I = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} = V\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) $

となります。回路全体を合成抵抗 $R$ とみなすと $I = \dfrac{V}{R}$ ですから、両辺を $V$ で割って比べると、

$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $

という関係が導かれます。並列接続では、電流の通り道が増える分だけ全体としては電流が流れやすくなるため、合成抵抗はもとのどちらの抵抗よりも必ず小さくなります。これは検算のときにも使える大事な性質です。

まとめると、次のように対比して覚えるとよいでしょう。

• 直列接続:電流が共通($I_1 = I_2$)、合成抵抗は $R = R_1 + R_2$
• 並列接続:電圧が共通($V_1 = V_2$)、合成抵抗は $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$

下のシミュレーションで、抵抗の値と接続方法を変えて、合成抵抗や各部分の電流がどう変わるかを確かめてみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

抵抗 $R_1 = 5\ \Omega$ と $R_2 = 15\ \Omega$ を直列に接続し、電源電圧20Vをつなぎました。合成抵抗と、回路に流れる電流をそれぞれ求めなさい。

解答・解説を見る

直列接続の合成抵抗の式 $R = R_1 + R_2$ に代入します。

$ R = 5 + 15 = 20\ \Omega $

回路全体をオームの法則で見ると、電源電圧 $V = 20\ \text{V}$、合成抵抗 $R = 20\ \Omega$ なので、

$ I = \frac{V}{R} = \frac{20}{20} = 1.0\ \text{A} $

答え: 合成抵抗 20 Ω、電流 1.0 A

例題2(標準)

問題

抵抗 $R_1 = 6\ \Omega$ と $R_2 = 3\ \Omega$ を並列に接続しました。合成抵抗を求めなさい。また、電源電圧が12Vのとき、それぞれの抵抗に流れる電流を求めなさい。

解答・解説を見る

合成抵抗を求める

並列接続の式 $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$ に代入します。分数の足し算をするために、通分します。

$ \frac{1}{R} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

したがって、

$ R = 2\ \Omega $

(もとの6Ωや3Ωより小さくなっていることを確認しておきましょう。)

それぞれの電流を求める

並列接続では、各抵抗にかかる電圧はどちらも電源電圧と同じ12Vです。オームの法則より、

$ I_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{12}{6} = 2.0\ \text{A} $

$ I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{12}{3} = 4.0\ \text{A} $

(検算: 全体の電流は $I_1 + I_2 = 2.0 + 4.0 = 6.0\ \text{A}$ となり、これは合成抵抗を使って求めた $I = \dfrac{12}{2} = 6.0\ \text{A}$ と一致します。)

答え: 合成抵抗 2 Ω、$I_1 = 2.0\ \text{A}$、$I_2 = 4.0\ \text{A}$

例題3(応用)

問題

$R_1 = 4\ \Omega$ の抵抗と、$R_2 = 6\ \Omega$・$R_3 = 3\ \Omega$ を並列につないだ部分を直列に接続し、電源電圧18Vをつなぎました。回路全体の合成抵抗と全体の電流、そして $R_2$ に流れる電流を求めなさい。

解答・解説を見る

このように直列と並列が組み合わさった回路は、並列部分を先にまとめてから、全体を直列として計算するのがコツです。

ステップ1: 並列部分($R_2$と$R_3$)をまとめる

$ \frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

$ R_{23} = 2\ \Omega $

ステップ2: 直列としてまとめる

並列部分を1つの抵抗 $R_{23} = 2\ \Omega$ とみなし、$R_1$ と直列にします。

$ R = R_1 + R_{23} = 4 + 2 = 6\ \Omega $

ステップ3: 全体の電流を求める

$ I = \frac{V}{R} = \frac{18}{6} = 3.0\ \text{A} $

ステップ4: $R_2$に流れる電流を求める

全体の電流3.0Aは、まず $R_1$ を通った後、並列部分($R_{23}$)で枝分かれします。並列部分にかかる電圧 $V_{23}$ は、並列部分を1つの抵抗とみなしたオームの法則で求められます。

$ V_{23} = I \times R_{23} = 3.0 \times 2 = 6.0\ \text{V} $

並列接続なので、この6.0Vが $R_2$ にも $R_3$ にもそのままかかります。したがって、

$ I_2 = \frac{V_{23}}{R_2} = \frac{6.0}{6} = 1.0\ \text{A} $

(検算: $I_3 = \dfrac{6.0}{3} = 2.0\ \text{A}$ なので、$I_2 + I_3 = 1.0 + 2.0 = 3.0\ \text{A}$ となり、全体の電流と一致します。)

答え: 合成抵抗 6 Ω、全体の電流 3.0 A、$R_2$ に流れる電流 1.0 A

練習問題

問題

$R_1 = 10\ \Omega$ と $R_2 = 10\ \Omega$ を並列に接続したときの合成抵抗を求めなさい。

答え

$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$ より、$R = 5\ \Omega$

答え: 5 Ω