波の反射

要点整理

反射とは何か

ロープの一方の端を持ち、もう一方の端を壁に固定した状態で、手元でパルス(1回だけの山型の盛り上がり)を作って送り出してみます。このパルスはロープに沿って壁の方へ進んでいきますが、壁に達すると、そこで跳ね返って手元の方へ戻ってきます。この、波が媒質の端(境界)に達したときに跳ね返る現象を反射といいます。

反射のしかたは、波が伝わってきた端が「自由に動けるか」「固定されて動けないか」によって、大きく変わります。この2つの場合を順番に見ていきましょう。

自由端反射

ロープの端を、壁に固定するのではなく、軽い輪をつけて棒に通し、上下に自由にスライドできるようにしておいたとします。このように、波が伝わる先の端が自由に動ける状態を自由端といいます。

自由端に向かって「山」のパルスが進んでいくと、端の部分は自由に動けるので、パルスが到達した瞬間、端は大きく持ち上げられます(むしろ、入射してきた波の2倍近くまで持ち上がろうとします)。そして、そのまま山は山のまま跳ね返っていきます。つまり、自由端では、反射波は入射波と同じ向き(同じ位相)で戻ってくるのです。

固定端反射

一方、ロープの端を壁にしっかりと固定した場合を考えます。この波が伝わる先の端が固定されていて動けない状態を固定端といいます。

固定端では、端の点は壁に固定されているため、どんな瞬間であっても変位は必ず $0$ でなければなりません(動けないのですから、当然そこにずっと居続けます)。もし「山」のパルスがそのままの形(位相)で跳ね返ってしまったら、入射してくる山と、跳ね返った山が固定端の位置で重なり合ってしまい、固定端の変位が $0$ ではなくなってしまいます。これは固定端の条件(変位は常に $0$)に反してしまいます。

固定端の変位を常に $0$ に保つためには、入射波と反射波が固定端の位置でちょうど打ち消し合う必要があります。そのためには、反射波の山と谷を入射波と入れかえて(位相を反転させて) 重ね合わせればよいのです。こうすることで、固定端の位置では常に「入射波の変位」と「反射波の変位」が逆符号になり、足し合わせるとちょうど $0$ になります。

つまり、固定端では、反射波は入射波の位相が反転して(山は谷に、谷は山になって)戻ってくるのです。

まとめ

	反射波の位相	「山」のパルスを送ると
自由端	変化しない(そのまま)	「山」のまま返ってくる
固定端	反転する	「谷」になって返ってくる

反射波は、入射波と同じ速さ・同じ波長で、進む向きだけが逆になった波として戻っていきます。位相が反転するかどうかは、上の表のとおり端の種類によって決まります。

反射の様子をシミュレーションで確認する

下のシミュレーションでは、パルス波が右側の端に向かって進み、反射する様子を表しています。「反射端の種類」のスライダーで固定端($0$)と自由端($1$)を切りかえて、反射波の形がどう変わるか観察してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題 一端を壁にしっかり固定したロープの反対側の端を、上向きに1回はじいて「山」のパルスを送りました。このパルスが固定端で反射すると、どのような形(山か谷か)のパルスとして戻ってくるか答えなさい。また、その理由も説明しなさい。

解答・解説を見る

答え:谷のパルスとして戻ってきます。

理由:壁に固定された端は動くことができないため、その点の変位は常に $0$ でなければなりません。もし山がそのままの形で反射すると、入射する山と反射した山が固定端で重なってしまい、変位が $0$ でなくなってしまいます。固定端の変位を常に $0$ に保つためには、反射波の位相を反転させる(山を谷に、谷を山に入れかえる)必要があります。したがって、山のパルスは固定端で反射すると谷のパルスになります。

例題2(標準)

問題 ロープの端に軽い輪をつけて棒に通し、自由に上下にスライドできるようにしました(自由端)。この端に向かって「谷」のパルスを送ったとき、反射波はどのような形になりますか。

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自由端では、端は自由に動けるので、反射のときに位相は反転しません。谷のパルスが自由端に到達すると、端はいったん大きく下向きに動きますが、山・谷の向きが入れかわることはなく、谷のパルスのまま跳ね返っていきます。

例題3(応用)

問題 固定端にはさまれた長さ $6\,\text{m}$ のロープの左端で「山」のパルス(幅は無視できるほど小さいとする)をつくり、右向きに速さ $2\,\text{m/s}$ で送り出しました。このパルスは右端の固定端で反射し、さらに左端の固定端でも反射します。パルスが右端で1回目の反射をしてから、左端で2回目の反射をするまでにかかる時間を求めなさい。

解答・解説を見る

まず、パルスが右端で反射したあと、左端に届くまでに進む距離を考えます。ロープの長さは $6\,\text{m}$ なので、右端で反射したパルスは、右端から左端まで、つまり $6\,\text{m}$ の距離を進む必要があります。

パルスの速さは、反射しても変わらず $2\,\text{m/s}$ のままです(反射は位相を変えるだけで、速さを変えるものではありません)。

したがって、かかる時間は「距離 ÷ 速さ」で求められます。

$t = \frac{6\,\text{m}}{2\,\text{m/s}} = 3\,\text{s}$

なお、このロープはどちらの端も固定端なので、パルスは右端でも左端でも、反射するたびに山と谷が入れかわり続けます(1回目の反射で谷になり、2回目の反射で再び山に戻ります)。

練習問題

問題 波が自由端で反射するとき、反射波の位相は入射波と比べてどうなりますか。また、固定端の場合はどうなりますか。それぞれ一言で答えなさい。

答え

自由端:位相は変化しない(そのまま)。 固定端:位相が反転する(山と谷が入れかわる)。