物理 / 原子
原子の構造と水素原子模型
要点整理
原子は、中心にある小さくて重い原子核と、そのまわりに存在する電子からできています。もっとも単純な原子である水素原子は、原子核(陽子1個)のまわりを電子1個が回っている構造をしています。
電子は自由な軌道を回れない
電子は、原子核の正の電気と自分の負の電気による引力(クーロン力)を受けて、原子核のまわりを円運動していると考えることができます。ところが、ここで大きな問題がありました。もし電子がふつうの粒子と同じように円運動しているなら、電磁気学の法則により、電子はエネルギーを電磁波として放出しながら、だんだん原子核に近づいていき、最後には原子核に落ち込んでしまうはずです。しかし実際の原子は安定して存在しています。
この問題を解決するために、ボーアは前のページで学んだ「電子は波としての性質(物質波)を持つ」という考え方を利用しました。電子の軌道が円軌道であるなら、その円周上を回る電子の波が、1周したときにちょうどうまくつながって定常波(輪になった波)を作れる軌道だけが、実際に存在できる軌道であると考えたのです。円周の長さ $2\pi r$ が、電子の波長 $\lambda$ のちょうど整数倍になっていればよいので、
$2\pi r = n\lambda \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
という条件になります。ここに、ド・ブロイ波長の式 $\lambda = \dfrac{h}{mv}$ を代入すると、
$2\pi r = n\frac{h}{mv}$
両辺に $mv$ をかけて整理すると、
$mvr = n\frac{h}{2\pi}$
という式が得られます。これをボーアの量子条件と呼びます。左辺の $mvr$ は、電子の円運動の「角運動量」と呼ばれる量です。この式は、電子の角運動量が $\dfrac{h}{2\pi}$ の整数倍というとびとびの値しかとれないことを意味しています。$n$ を量子数と呼びます。量子条件を満たす軌道を回っている電子は、エネルギーを放出せずに安定していられます。このような状態を定常状態と呼びます。
水素原子のエネルギー準位
量子条件 $mvr = n\dfrac{h}{2\pi}$ と、クーロン力が向心力になっているという運動方程式を組み合わせることで、量子数 $n$ ごとに、電子の軌道半径 $r_n$ と、その軌道にいるときの原子のエネルギー $E_n$ が求まります。詳しい計算は省略しますが、結果として、水素原子のエネルギーは、
$E_n = \frac{E_1}{n^2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
という、とびとびの値だけをとることがわかります。この、とびとびのエネルギーの値のことをエネルギー準位と呼びます。$E_1$ は $n=1$ のときのエネルギーで、水素原子では、
$E_1 = -13.6\ \mathrm{eV}$
であることが実験や理論からわかっています($\mathrm{eV}$ は電子ボルトという、原子や電子のエネルギーを表すのによく使われる単位です)。マイナスの符号がついているのは、電子が原子核に束縛されている状態のエネルギーを、電子が原子から無限に離れた($n\to\infty$、エネルギー $0$)状態を基準にして測っているからです。$n$ が最も小さい $n=1$ のとき、$E_n$ はもっとも小さい(絶対値がもっとも大きい)値になり、これが電子がもっとも安定して存在できる状態です。これを基底状態と呼びます。$n=2,3,\dots$ の状態は、基底状態よりエネルギーが高く、励起状態と呼ばれます。
準位間の遷移と光の放出・吸収
電子は、光子を吸収したり放出したりすることで、あるエネルギー準位から別のエネルギー準位へ移ることができます。これを遷移と呼びます。エネルギーの高い準位(量子数 $m$)から、エネルギーの低い準位(量子数 $n$、$n $h\nu = |E_m - E_n|$ という関係が成り立ちます。これは、光子のエネルギー $h\nu$(光電効果のページで学んだ式です)と、準位間のエネルギー差が等しいことを表しています。 下のシミュレーションで、遷移前の準位と遷移後の準位を選び、放出される光のイメージを確認してみましょう。 問題 水素原子中の電子が、$n=3$ の準位から $n=2$ の準位へ移った。このとき放出される光子のエネルギー(eV単位)と、その光の振動数を求めよ。$E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$、$1\ \mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$、$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ とする。 まず、それぞれの準位のエネルギーを求めます。$E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$ より、 $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51\ \mathrm{eV}$ $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4\ \mathrm{eV}$ 電子は $n=3$ から $n=2$ へ、エネルギーの高い状態から低い状態へ移るので、その差のエネルギーが光子として放出されます。 $\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = 1.89\ \mathrm{eV}$ これをジュールに直すと、 $\Delta E = 1.89\times 1.6\times10^{-19} \approx 3.02\times10^{-19}\ \mathrm{J}$ 放出される光子のエネルギーは $h\nu$ に等しいので、$h\nu = \Delta E$ より、 $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{3.02\times10^{-19}}{6.6\times10^{-34}} \approx 4.6\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$ 答え:放出される光子のエネルギーは約 $1.89\ \mathrm{eV}$、振動数は約 $4.6\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$ 問題 基底状態($n=1$)にある水素原子の電子が、光を吸収して $n=4$ の準位まで移った。このとき吸収した光のエネルギー(eV単位)と波長を求めよ。$E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$、$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$、$c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ とする。 $n=4$ のエネルギーは、 $E_4 = \frac{-13.6}{4^2} = \frac{-13.6}{16} = -0.85\ \mathrm{eV}$ $n=1$ のエネルギーは $E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$ です。電子は $n=1$ から $n=4$ へ、エネルギーの低い状態から高い状態へ移るので、その差のエネルギーを光として吸収したことになります。 $\Delta E = E_4 - E_1 = -0.85 - (-13.6) = 12.75\ \mathrm{eV}$ ジュールに直すと、 $\Delta E = 12.75\times 1.6\times10^{-19} = 2.04\times10^{-18}\ \mathrm{J}$ 光の波長は、$h\nu=\Delta E$ と $\nu = \dfrac{c}{\lambda}$ より $\dfrac{hc}{\lambda}=\Delta E$ なので、これを $\lambda$ について解くと $\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E}$ となり、 $\lambda = \frac{6.6\times10^{-34}\times 3.0\times10^{8}}{2.04\times10^{-18}} \approx 9.7\times10^{-8}\ \mathrm{m}$ 答え:吸収したエネルギーは $12.75\ \mathrm{eV}$、波長は約 $9.7\times10^{-8}\ \mathrm{m}$(紫外線の範囲です) 問題 基底状態($n=1$)にある水素原子の電子を、原子から完全に取り去る(電離させる)のに必要な最小のエネルギーを、電子ボルトとジュールで求めよ。また、そのエネルギーに対応する光の波長を求めよ。$E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$、$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$、$c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ とする。 電子を原子から完全に取り去るというのは、電子を $n\to\infty$ の状態に移すことに対応します。$n\to\infty$ のとき $E_n = \dfrac{E_1}{n^2} \to 0$ なので、電離した状態のエネルギーは $0$ です。 必要なエネルギー(電離エネルギー)は、 $\Delta E = E_\infty - E_1 = 0 - (-13.6) = 13.6\ \mathrm{eV}$ ジュールに直すと、 $\Delta E = 13.6\times 1.6\times10^{-19} = 2.176\times10^{-18}\ \mathrm{J}$ 対応する光の波長は、 $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.6\times10^{-34}\times 3.0\times10^{8}}{2.176\times10^{-18}} \approx 9.1\times10^{-8}\ \mathrm{m}$ 答え:電離エネルギーは $13.6\ \mathrm{eV}$($2.176\times10^{-18}\ \mathrm{J}$)、対応する波長は約 $9.1\times10^{-8}\ \mathrm{m}$ このように、基底状態にある電子を電離させるのに必要なエネルギーを電離エネルギーと呼び、$n=1$ のエネルギー準位の絶対値 $|E_1|$ に等しくなります。 問題 水素原子中の電子が、$n=2$ の準位から $n=1$ の準位(基底状態)へ移った。放出される光子のエネルギー(eV単位)と振動数を求めよ。$E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$、$h=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ とする。 $E_2 = \dfrac{-13.6}{4} = -3.4\ \mathrm{eV}$ $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4-(-13.6) = 10.2\ \mathrm{eV} = 1.632\times10^{-18}\ \mathrm{J}$ $\nu = \dfrac{\Delta E}{h} = \dfrac{1.632\times10^{-18}}{6.6\times10^{-34}} \approx 2.5\times10^{15}\ \mathrm{Hz}$例題
例題1(基本)
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例題2(標準)
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例題3(応用)
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練習問題
答え