鉛直投げ上げ・投げ下ろし

要点整理

ボールを真上に投げ上げたり、真下に投げ下ろしたりする運動を考えます。これらは、前のページで学んだ「自由落下」と同じく、重力加速度 $g$(およそ $9.8\ \mathrm{m/s^2}$)による等加速度直線運動の一種です。違うのは、初速度が $0$ ではないという点だけです。

向きの決め方

自由落下のときは下向きを正としましたが、投げ上げでは上向きを正にとるのが基本です。理由は、投げ上げた瞬間の初速度が上向きであり、これを正の値として扱うと式がすっきりするためです。

上向きを正にとると、重力による加速度は下向き、つまり負の向きなので $a=-g$ となります。前のページの式1・式2($v=v_0+at$、$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$)に $a=-g$ を代入すると、次の式が得られます。

$v = v_0 - gt$

$y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$

ここで $y$ は、投げ始めた位置を基準($y=0$)としたときの高さです。同様に、前のページの式3($v^2-v_0^2=2ax$)に $a=-g$ を代入すると、

$v^2 = v_0^2 - 2gy$

が得られます。

投げ上げと投げ下ろしは同じ式で扱える

投げ上げは、初速度 $v_0$ が上向き、つまり正の値の場合です。投げ下ろしは、初速度が下向き、つまり上向きを正とする座標では $v_0$ が負の値になる場合にあたります。どちらの場合も、上で示した3つの式がそのまま使えます。符号を正しく設定さえすれば、2つの現象を別々に覚える必要はありません。

最高点の性質

投げ上げたボールは、だんだん上昇速度が小さくなり、ある瞬間に一瞬だけ静止して、そこから落下に転じます。この一瞬だけ静止する点を最高点と呼び、最高点では

$v = 0$

が成り立ちます。この条件を $v=v_0-gt$ に代入すると、最高点に達するまでの時間 $t_1$ が求められます。

$0 = v_0 - gt_1$

$t_1 = \frac{v_0}{g}$

また、$v^2=v_0^2-2gy$ に $v=0$ を代入すると、最高点の高さ $h$ が求められます。

$0 = v_0^2 - 2gh$

$h = \frac{v_0^2}{2g}$

初速度が同じであれば、投げ上げてから最高点に達するまでの時間と、最高点から元の高さまで落ちてくるのにかかる時間は等しくなります(自由落下と同じ運動を逆向きにたどる形になるためです)。したがって、投げ始めてから元の高さに戻ってくるまでの時間は $2t_1 = \dfrac{2v_0}{g}$ です。

下のシミュレーションで、初速度を変えながら、ボールの高さが時間とともにどう変化するか確認してみましょう。破線は、そのボールが実際に到達した最高点の高さを表しています。

例題

例題1(基本)

問題

地面から、ボールを真上に $14.7\ \mathrm{m/s}$ の速さで投げ上げた。最高点に達するまでの時間と、最高点の高さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

最高点に達するまでの時間

$t_1 = \dfrac{v_0}{g}$ に $v_0=14.7$、$g=9.8$ を代入します。

$t_1 = \frac{14.7}{9.8} = 1.5\ \mathrm{s}$

最高点の高さ

$h = \dfrac{v_0^2}{2g}$ に代入します。

$h = \frac{14.7^2}{2\times 9.8} = \frac{216.09}{19.6} = 11.025\ \mathrm{m}$

答え:最高点に達するまでの時間は $1.5\ \mathrm{s}$、最高点の高さは $11.025\ \mathrm{m}$

例題2(標準)

問題

地面から、ボールを真上に $19.6\ \mathrm{m/s}$ の速さで投げ上げた。投げ上げてから $3\ \mathrm{s}$ 後の高さと速度を求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

まず、最高点に達する時刻を確認します。$t_1=\dfrac{v_0}{g}=\dfrac{19.6}{9.8}=2\ \mathrm{s}$ なので、$t=3\ \mathrm{s}$ はすでに最高点を過ぎており、ボールは下降中と考えられます。

速度

$v=v_0-gt$ に $v_0=19.6$、$g=9.8$、$t=3$ を代入します。

$v = 19.6 - 9.8\times 3 = 19.6 - 29.4 = -9.8\ \mathrm{m/s}$

速度が負の値になっているのは、上向きを正としたときに、ボールがすでに下向きに動いていることを表しています。

高さ

$y=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2$ に同じ値を代入します。

$y = 19.6\times 3 - \frac{1}{2}\times 9.8\times 3^2$

右辺を順番に計算します。

$y = 58.8 - \frac{1}{2}\times 9.8\times 9 = 58.8 - 44.1 = 14.7\ \mathrm{m}$

答え:$3\ \mathrm{s}$ 後の高さは $14.7\ \mathrm{m}$、速度は大きさ $9.8\ \mathrm{m/s}$ で下向き

例題3(応用)

問題

地面からボールを真上に投げ上げたところ、投げてから地面に戻ってくるまでに $4\ \mathrm{s}$ かかった。初速度と、最高点の高さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

投げ上げてから最高点に達するまでの時間と、最高点から地面に戻るまでの時間は等しいので、最高点に達するまでの時間は、

$t_1 = \frac{4}{2} = 2\ \mathrm{s}$

初速度

$t_1=\dfrac{v_0}{g}$ を $v_0$ について解くと $v_0=g t_1$ なので、

$v_0 = 9.8\times 2 = 19.6\ \mathrm{m/s}$

最高点の高さ

$h=\dfrac{v_0^2}{2g}$ に $v_0=19.6$ を代入します。

$h = \frac{19.6^2}{2\times 9.8} = \frac{384.16}{19.6} = 19.6\ \mathrm{m}$

答え:初速度は $19.6\ \mathrm{m/s}$、最高点の高さは $19.6\ \mathrm{m}$

練習問題

問題

地面から、小石を真下に $9.8\ \mathrm{m/s}$ の速さで投げ下ろした。投げ下ろしてから $1\ \mathrm{s}$ 後の速さと、落下した距離を求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

答え

上向きを正にとると、投げ下ろしなので初速度は $v_0=-9.8\ \mathrm{m/s}$ です。

速度:$v=-9.8-9.8\times 1=-19.6\ \mathrm{m/s}$(大きさ $19.6\ \mathrm{m/s}$ で下向き)

変位:$y=-9.8\times 1-\dfrac{1}{2}\times 9.8\times 1^2=-9.8-4.9=-14.7\ \mathrm{m}$(14.7m落下)