電磁誘導

要点整理

磁束とは何か

コイルのような、ある面積をもった面を、磁場がどれだけ貫いているかを表す量を磁束と呼びます。面積 $S$ の面を、それに垂直な向きの磁束密度 $B$ が貫いているとき、磁束 $\Phi$ は

$\Phi = BS$

で表されます。単位はウェーバ(記号Wb)です。もし磁場が面に対して斜めに入っている場合には、面に垂直な成分だけを考える必要がありますが、この単元ではまず磁場が面に垂直な場合を中心に考えます。

ファラデーの電磁誘導の法則

コイルを貫く磁束が時間とともに変化すると、そのコイルに起電力が生じます。この現象を電磁誘導と呼び、生じた起電力を誘導起電力、それによって流れる電流を誘導電流と呼びます。

巻き数 $N$ のコイルを貫く磁束が、時間 $\Delta t$ の間に $\Delta \Phi$ だけ変化したとき、生じる誘導起電力の大きさ $V$ は、次の式で表されます。

$V = N\left|\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right|$

この式が伝えている、もっとも大切なポイントを確認しましょう。それは、起電力の大きさを決めるのは磁束の「大きさ」ではなく、磁束の「変化の割合」であるということです。どんなに強い磁石をコイルの近くに置いても、それが静止していて磁束が変化していなければ、誘導起電力は生じません。逆に、磁束が急激に変化するときほど(たとえば磁石を速く動かすときほど)、大きな誘導起電力が生じます。

また、巻き数 $N$ が多いほど誘導起電力が大きくなることも重要です。これは、$N$ 回巻かれたコイルは、1回巻きのコイルが $N$ 個直列につながっているのと同じことであり、それぞれの巻きに生じる起電力が足し合わされるためです。

レンツの法則

誘導電流には向きがあります。その向きを決めるのがレンツの法則です。

誘導電流は、コイルを貫く磁束の変化を妨げる向きに流れる。

たとえば、コイルに向かって磁石のN極を近づけると、コイルを貫く磁束(磁石の向きに)が増加していきます。レンツの法則によれば、誘導電流はこの「磁束の増加」を妨げる向き、つまり磁石の動きを近づけまいとする向きの磁場を自分でつくるように流れます。逆に磁石を遠ざけると、磁束の減少を妨げる向き、つまり磁石を引き止めようとする向きに誘導電流が流れます。

このようにレンツの法則は、「変化を嫌う」という自然な性質を表しており、エネルギー保存の法則とも深く関係しています(もし逆向きに電流が流れて磁石の動きを助けてしまうとしたら、エネルギーが何もないところから生まれてしまうことになり、矛盾してしまいます)。

磁石を近づける速さ $v$ を大きくしたり、コイルの巻き数 $N$ を増やしたりすると、誘導起電力が大きくなることを確認しましょう。また、磁石がコイルに近づくほど(距離が短いほど)磁束の変化が急激になるため、起電力が大きくなっていく様子も確認できます。

導体棒が磁場中を動くときの誘導起電力

一様な磁場の中で、長さ $L$ の導体棒を、磁場にも棒自身にも垂直な向きに速さ $v$ で動かすと、棒の両端に誘導起電力が生じます。この起電力の大きさは、次の式で表されます。

$V = vBL$

この式は、ファラデーの法則からも導くことができます。棒が時間 $\Delta t$ の間に $v\Delta t$ だけ動くと、棒が通過した面積は $L \times v\Delta t$ だけ増え、磁束の変化は $\Delta\Phi = B\times L\times v\Delta t$ となります。これを $V=N|\Delta\Phi/\Delta t|$(この場合コイルではないので $N=1$)に代入すると、

$V = \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \dfrac{BLv\Delta t}{\Delta t} = vBL$

となり、確かに一致します。

例題

例題1(基本)

問題 巻き数 $N=100$ のコイルを貫く磁束密度が、$B_1=0.50\,\text{T}$ から $B_2=0.20\,\text{T}$ まで、$\Delta t=0.10\,\text{s}$ の間に一様に変化した。コイルの面積は $S=0.020\,\text{m}^2$ で一定である。生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

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磁束の変化を求める

はじめの磁束は $\Phi_1=B_1S$、あとの磁束は $\Phi_2=B_2S$ です。磁束の変化は、

$\Delta\Phi = \Phi_2-\Phi_1 = S(B_2-B_1) = 0.020\times(0.20-0.50)$

$= 0.020\times(-0.30) = -0.0060\,\text{Wb}$

大きさだけを考えるので、$|\Delta\Phi|=0.0060\,\text{Wb}$ です。

誘導起電力を求める

ファラデーの法則 $V=N\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$ に数値を代入します。

$V = 100\times\dfrac{0.0060}{0.10} = 100\times0.060 = 6.0\,\text{V}$

答え: $V = 6.0\,\text{V}$

例題2(標準)

問題 一様な磁場(磁束密度 $B=0.30\,\text{T}$)の中で、長さ $L=0.40\,\text{m}$ の導体棒を、磁場にも棒にも垂直な向きに速さ $v=5.0\,\text{m/s}$ で動かした。棒の両端に生じる誘導起電力を求めよ。

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導体棒の誘導起電力の式 $V=vBL$ に数値を代入します。

$V = 5.0\times0.30\times0.40$

$= 1.5\times0.40 = 0.60\,\text{V}$

答え: $V = 0.60\,\text{V}$

例題3(応用)

問題 例題2と同じ導体棒($L=0.40\,\text{m}$, $v=5.0\,\text{m/s}$, $B=0.30\,\text{T}$)が、抵抗が無視できるレール上を滑り、レールの端には抵抗 $R=2.0\,\Omega$ がつながれている。(1) 回路に流れる誘導電流の大きさを求めよ。(2) 棒が等速で動き続けるために外部から加える必要がある力の大きさを求めよ。

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(1) 誘導電流を求める

例題2より誘導起電力は $V=0.60\,\text{V}$ です。回路はこの起電力と抵抗 $R$ からなるので、オームの法則より、

$I = \dfrac{V}{R} = \dfrac{0.60}{2.0} = 0.30\,\text{A}$

(2) 必要な外力を求める

電流が流れている導体棒は、磁場から電磁力を受けます。レンツの法則より、この力は棒の運動を妨げる向き(棒の動きにブレーキをかける向き)にはたらきます。電磁力の式 $F=BIL$(棒は磁場に垂直なので $\sin\theta=1$)に数値を代入すると、

$F = 0.30\times0.30\times0.40$

$= 0.090\times0.40 = 0.036\,\text{N}$

棒が等速で(加速度なしで)動き続けるためには、この妨げる力とちょうど釣り合うだけの外力を、運動の向きに加え続ける必要があります。

答え: (1) $I=0.30\,\text{A}$ (2) $F=0.036\,\text{N}$

練習問題

問題 巻き数 $N=50$、面積 $S=0.010\,\text{m}^2$ のコイルを貫く磁束密度が、$0$ から $0.40\,\text{T}$ まで、$\Delta t=0.20\,\text{s}$ の間に一様に変化した。生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

答え

$\Delta\Phi = S\times\Delta B = 0.010\times0.40 = 0.0040\,\text{Wb}$

$V=N\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=50\times\dfrac{0.0040}{0.20}=50\times0.020=1.0\,\text{V}$