章末問題

(1) 電場

$E = k\dfrac{Q_1}{r^2} = 9.0\times10^9\times\dfrac{3.0\times10^{-8}}{(0.60)^2} = \dfrac{270}{0.36} = 750 = 7.5\times10^2\,\text{N/C}$

(2) 電位

$V = k\dfrac{Q_1}{r} = 9.0\times10^9\times\dfrac{3.0\times10^{-8}}{0.60} = \dfrac{270}{0.60} = 450 = 4.5\times10^2\,\text{V}$

(3) 力の大きさと向き

力の大きさは $F=|q|E$ で求められます。

$F = 2.0\times10^{-9}\times750 = 1.5\times10^{-6}\,\text{N}$

$Q_1$ は正電荷、$q$ は負電荷なので、両者は引き合います。したがって力の向きは、$q$ から $Q_1$ に向かう向き(引力の向き)です。

(4) 位置エネルギー

$U = qV = (-2.0\times10^{-9})\times450 = -9.0\times10^{-7}\,\text{J}$

$q$ が負の電荷なので、正の電位 $V$ の場所にあっても、位置エネルギー $U$ は負の値になることに注意してください。

答え: (1) $7.5\times10^2\,\text{N/C}$ (2) $4.5\times10^2\,\text{V}$ (3) $1.5\times10^{-6}\,\text{N}$、$Q_1$に向かう向き (4) $-9.0\times10^{-7}\,\text{J}$

充電直後の電荷を求める

$Q_0 = C_1V = 4.0\times10^{-6}\times50 = 2.0\times10^{-4}\,\text{C} = 200\,\mu\text{C}$

(1) 接続後の共通電圧

2つのコンデンサーを接続しても、全体の電荷は保存されます(電池はもう切り離されているため、外部から電荷が出入りすることはありません)。接続後は $C_1$ と $C_2$ が並列になるので、合成容量は

$C = C_1+C_2 = 4.0+6.0 = 10\,\mu\text{F}$

共通電圧は、保存された電荷 $Q_0$ をこの合成容量で割って求めます。

$V_f = \dfrac{Q_0}{C} = \dfrac{200}{10} = 20\,\text{V}$

(2) それぞれの電荷

$Q_1' = C_1V_f = 4.0\times20 = 80\,\mu\text{C}$

$Q_2' = C_2V_f = 6.0\times20 = 120\,\mu\text{C}$

(検算: $Q_1'+Q_2'=80+120=200\,\mu\text{C}=Q_0$ となり、電荷が保存されていることが確認できます。)

(3) エネルギーの変化

接続前のエネルギーは、

$U_0 = \dfrac{1}{2}C_1V^2 = 0.5\times4.0\times10^{-6}\times(50)^2 = 0.5\times4.0\times10^{-6}\times2500 = 5.0\times10^{-3}\,\text{J}$

接続後のエネルギーは、

$U_f = \dfrac{1}{2}CV_f^2 = 0.5\times10\times10^{-6}\times(20)^2 = 0.5\times10\times10^{-6}\times400 = 2.0\times10^{-3}\,\text{J}$

エネルギーの変化は、

$\Delta U = U_f-U_0 = 2.0\times10^{-3}-5.0\times10^{-3} = -3.0\times10^{-3}\,\text{J}$

つまり、$3.0\,\text{mJ}$ のエネルギーが失われています。これは、接続の瞬間に電荷が移動する際、導線の抵抗などで熱として失われたためです。

答え: (1) $20\,\text{V}$ (2) $Q_1'=80\,\mu\text{C}$, $Q_2'=120\,\mu\text{C}$ (3) $3.0\,\text{mJ}$ のエネルギーが失われる

第一法則(分岐点A)

$I_1+I_2 = I_3 \quad \cdots①$

第二法則(2つの閉回路)

$E_1 = I_1R_1+I_3R_3 \;\Rightarrow\; 17=4I_1+3I_3 \quad \cdots②$

$E_2 = I_2R_2+I_3R_3 \;\Rightarrow\; 15=6I_2+3I_3 \quad \cdots③$

②より $I_1=\dfrac{17-3I_3}{4}$、③より $I_2=\dfrac{15-3I_3}{6}$ です。これらを①に代入します。

$\dfrac{17-3I_3}{4}+\dfrac{15-3I_3}{6} = I_3$

両辺に12をかけて分母を払います。

$3(17-3I_3)+2(15-3I_3) = 12I_3$

$51-9I_3+30-6I_3 = 12I_3$

$81-15I_3 = 12I_3$

$81 = 27I_3$

$I_3 = 3\,\text{A}$

これを②', ③'に代入します。

$I_1 = \dfrac{17-9}{4} = 2\,\text{A}, \qquad I_2 = \dfrac{15-9}{6} = 1\,\text{A}$

答え: $I_1=2\,\text{A}$, $I_2=1\,\text{A}$, $I_3=3\,\text{A}$

(1) 導線2の位置での磁場

直線電流のつくる磁場の式 $B=\mu_0\dfrac{I}{2\pi r}=2\times10^{-7}\times\dfrac{I}{r}$ に、導線1の電流 $I_1=5.0\,\text{A}$ と距離 $r=0.20\,\text{m}$ を代入します。

$B_1 = 2\times10^{-7}\times\dfrac{5.0}{0.20} = 2\times10^{-7}\times25 = 5.0\times10^{-6}\,\text{T}$

(2) 導線2にはたらく力

導線2は、導線1がつくる磁場 $B_1$ の中に置かれた、電流 $I_2$ の流れる導線とみなせます。導線は磁場に垂直なので、電磁力の式 $F=B_1I_2L\sin90°$ を長さ1mあたりで考えると、

$\dfrac{F}{L} = B_1I_2 = 5.0\times10^{-6}\times3.0 = 1.5\times10^{-5}\,\text{N/m}$

向きについては、同じ向きに流れる2本の平行電流は、たがいに引き合う(引力がはたらく)という性質があります。

答え: (1) $B_1=5.0\times10^{-6}\,\text{T}$ (2) $1.5\times10^{-5}\,\text{N/m}$、導線1に向かって引き合う向き

(1) 誘導起電力

$V = vBL = 4.0\times0.25\times0.50 = 0.50\,\text{V}$

(2) 回路全体の電流

$R_1,R_2$ の並列合成抵抗は、

$R_p = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} = \dfrac{3.0\times6.0}{3.0+6.0} = \dfrac{18}{9.0} = 2.0\,\Omega$

棒の抵抗は無視できるので、棒を流れる電流(回路全体の電流)は、

$I = \dfrac{V}{R_p} = \dfrac{0.50}{2.0} = 0.25\,\text{A}$

(3) それぞれの抵抗を流れる電流

並列接続では、$R_1,R_2$ の両端には、いずれも起電力と同じ $0.50\,\text{V}$ の電圧がかかります(棒とレールの抵抗が無視できるため)。

$I_1 = \dfrac{V}{R_1} = \dfrac{0.50}{3.0} \approx 0.17\,\text{A}$

$I_2 = \dfrac{V}{R_2} = \dfrac{0.50}{6.0} \approx 0.083\,\text{A}$

(検算: $I_1+I_2\approx0.17+0.083=0.25\,\text{A}=I$ となり、一致します。)

答え: (1) $0.50\,\text{V}$ (2) $0.25\,\text{A}$ (3) $I_1\approx0.17\,\text{A}$, $I_2\approx0.083\,\text{A}$

(1) 自己誘導起電力

$\Delta I = 5.0-0 = 5.0\,\text{A}$

$V = L\left|\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\right| = 0.40\times\dfrac{5.0}{0.50} = 0.40\times10 = 4.0\,\text{V}$

(2) たくわえられるエネルギー

$U = \dfrac{1}{2}LI^2 = 0.5\times0.40\times(5.0)^2 = 0.5\times0.40\times25 = 5.0\,\text{J}$

答え: (1) $4.0\,\text{V}$ (2) $5.0\,\text{J}$

(1) 電流の実効値

抵抗では、実効値についてもオームの法則がそのまま成り立ちます。

$I_e = \dfrac{V_e}{R} = \dfrac{200}{40} = 5.0\,\text{A}$

(2) 最大値

実効値と最大値の関係 $V_e=\dfrac{V_0}{\sqrt2}$ より、$V_0=\sqrt2\,V_e$ です。

$V_0 = 1.41\times200 \approx 282\,\text{V}$

$I_0 = 1.41\times5.0 \approx 7.1\,\text{A}$

(3) 平均電力

$P = V_eI_e = 200\times5.0 = 1.0\times10^3\,\text{W}$

答え: (1) $5.0\,\text{A}$ (2) $V_0\approx282\,\text{V}$, $I_0\approx7.1\,\text{A}$ (3) $1.0\times10^3\,\text{W}$

(1) 振動数

$\lambda=3.0\,\text{cm}=3.0\times10^{-2}\,\text{m}$ です。

$f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3.0\times10^8}{3.0\times10^{-2}} = 1.0\times10^{10}\,\text{Hz}$

(2) 距離

時間 $t=2.0\times10^{-6}\,\text{s}$ は、電波が「レーダー→物体→レーダー」と往復するのにかかった時間です。往復の距離は、

$c\times t = 3.0\times10^8\times2.0\times10^{-6} = 6.0\times10^2\,\text{m}$

物体までの距離は、往復距離の半分なので、

$\dfrac{6.0\times10^2}{2} = 3.0\times10^2\,\text{m}$

答え: (1) $1.0\times10^{10}\,\text{Hz}$(10GHz) (2) $3.0\times10^2\,\text{m}$(300m)