電磁力とローレンツ力

要点整理

電流が磁場から受ける力(電磁力)

磁場の中に置かれた導線に電流を流すと、その導線は力を受けます。これを電磁力と呼びます。磁束密度 $B$ の一様な磁場の中に、長さ $L$ の導線を置き、電流 $I$ を流したとき、導線が受ける力の大きさは、次の式で表されます。

$F = IBL\sin\theta$

ここで $\theta$ は、導線(電流の向き)と磁場の向きがつくる角度です。この式で特に注意したいのは $\sin\theta$ の部分です。

• 導線が磁場に対して垂直なとき($\theta=90°$)、$\sin\theta=1$ となり、力は最大の $F=IBL$ になります。
• 導線が磁場に対して平行なとき($\theta=0°$)、$\sin\theta=0$ となり、力は $F=0$ になります。つまり、電流の向きと磁場の向きが同じ(または逆)であれば、力ははたらきません。

力の向きは、電流の向きにも磁場の向きにも垂直な向きになります。この向きを求める方法がフレミングの左手の法則です。左手の中指を電流の向き、人差し指を磁場の向きに合わせると、親指の向きが電磁力の向きになります。

ローレンツ力

電磁力は、導線の中を流れるたくさんの電子(自由電子)が磁場から受ける力の合計だと考えることができます。そこで、1個の荷電粒子(電気量 $q$)が磁場の中を速さ $v$ で運動しているときに受ける力を考えてみましょう。この力をローレンツ力と呼び、次の式で表されます。

$F = qvB\sin\theta$

ここで $\theta$ は、粒子の速度の向きと磁場の向きがつくる角度です。式の形は電磁力の式ととてもよく似ていて、電流 $I$ が電気量 $q$ に、長さ $L$ が速さ $v$ に置き換わっただけになっていることに注目してください。

力の向きは、フレミングの左手の法則で、中指を「正電荷の速度の向き」に合わせることで求められます。荷電粒子が負の電荷をもつ場合には、力の向きは正電荷の場合と反対向きになります。

磁場中を運動する荷電粒子の円運動

ローレンツ力には、他の身近な力(重力や弾性力など)にはない、とても重要な特徴があります。ローレンツ力は、常に粒子の速度の向きに対して垂直にはたらくのです。

速度に垂直な力は、粒子の進む向きを変えることはできますが、速さを変えることはできません(力がする仕事 $W=Fv\cos\theta$ において、力と速度が垂直、つまり $\theta=90°$ なので $\cos\theta=0$ となり、仕事は常に $0$ になるからです)。

そのため、一様な磁場に対して垂直に飛び込んだ荷電粒子(電気量 $q$、質量 $m$)は、速さを変えないまま、力の向きだけを変え続けます。これはちょうど、糸につながれたおもりが等速で円運動するときと同じ状況であり、粒子は等速円運動をします。

円運動の半径を $r$ とすると、ローレンツ力が円運動に必要な向心力の役割を果たしているので、

$qvB = \dfrac{mv^2}{r}$

という関係が成り立ちます。両辺を $v$ で割ってから、$r$ について解くと、

$qB = \dfrac{mv}{r}$

$r = \dfrac{mv}{qB}$

が得られます。この式から、速さ $v$ が大きいほど半径 $r$ は大きくなり、磁場 $B$ や電気量 $q$ が大きいほど半径 $r$ は小さくなることが分かります。

円運動の周期 $T$(1周するのにかかる時間)は、円周 $2\pi r$ を速さ $v$ で割ったものです。

$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi}{v}\times\dfrac{mv}{qB} = \dfrac{2\pi m}{qB}$

この式には $v$ が含まれていません。つまり、周期は粒子の速さによらず一定であるという、非常に重要な結論が得られます。速さが変わると半径は変わりますが、1周するのにかかる時間はいつも同じなのです。

速さ $v$ を大きくすると円の半径が大きくなること、磁場 $B$ を大きくすると円の半径が小さくなることを確認しましょう。また、周期 $T$ は速さ $v$ を変えても変化しないことにも注目してください。

例題

例題1(基本)

問題 磁束密度 $B=0.20\,\text{T}$ の一様な磁場に垂直に、長さ $L=0.50\,\text{m}$ の導線を置き、$I=4.0\,\text{A}$ の電流を流した。導線が受ける電磁力の大きさを求めよ。

解答・解説を見る

導線は磁場に垂直に置かれているので、$\theta=90°$、$\sin\theta=1$ です。電磁力の式 $F=IBL\sin\theta$ に数値を代入します。

$F = 4.0\times0.20\times0.50\times1 = 0.40\,\text{N}$

答え: $F = 0.40\,\text{N}$

例題2(標準)

問題 磁束密度 $B=0.50\,\text{T}$ の一様な磁場に垂直な向きに、電気量 $q=2.0\times10^{-6}\,\text{C}$ の荷電粒子が速さ $v=3.0\times10^{5}\,\text{m/s}$ で飛び込んだ。この粒子が受けるローレンツ力の大きさを求めよ。

解答・解説を見る

粒子の速度は磁場に垂直なので、$\theta=90°$、$\sin\theta=1$ です。ローレンツ力の式 $F=qvB\sin\theta$ に数値を代入します。

$F = 2.0\times10^{-6}\times3.0\times10^{5}\times0.50\times1$

まず $2.0\times10^{-6}\times3.0\times10^{5}$ を計算します。

$2.0\times3.0=6.0, \quad 10^{-6}\times10^{5}=10^{-1}$

$2.0\times10^{-6}\times3.0\times10^{5} = 6.0\times10^{-1} = 0.60$

これに $0.50$ をかけます。

$F = 0.60\times0.50 = 0.30\,\text{N}$

答え: $F = 0.30\,\text{N}$

例題3(応用)

問題 陽子(電気量 $q=1.6\times10^{-19}\,\text{C}$、質量 $m=1.67\times10^{-27}\,\text{kg}$)が、磁束密度 $B=0.10\,\text{T}$ の一様な磁場に垂直な向きに、速さ $v=1.0\times10^{6}\,\text{m/s}$ で飛び込んだ。この陽子が描く円運動の半径 $r$ と周期 $T$ を求めよ。

解答・解説を見る

半径を求める

円運動の半径の式 $r=\dfrac{mv}{qB}$ に数値を代入します。

分子を計算します。

$mv = 1.67\times10^{-27}\times1.0\times10^{6} = 1.67\times10^{-21}$

分母を計算します。

$qB = 1.6\times10^{-19}\times0.10 = 1.6\times10^{-20}$

したがって、

$r = \dfrac{1.67\times10^{-21}}{1.6\times10^{-20}} = 0.104 \approx 0.10\,\text{m}$

周期を求める

周期の式 $T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ に数値を代入します。先ほど求めた $qB=1.6\times10^{-20}$ を使います。

$T = \dfrac{2\pi\times1.67\times10^{-27}}{1.6\times10^{-20}}$

まず分子を計算します。

$2\pi\times1.67\times10^{-27} \approx 6.28\times1.67\times10^{-27} \approx 10.49\times10^{-27} = 1.049\times10^{-26}$

したがって、

$T = \dfrac{1.049\times10^{-26}}{1.6\times10^{-20}} \approx 0.656\times10^{-6} = 6.6\times10^{-7}\,\text{s}$

答え: $r \approx 0.10\,\text{m}$, $T \approx 6.6\times10^{-7}\,\text{s}$

練習問題

問題 電子(電気量 $q=1.6\times10^{-19}\,\text{C}$、質量 $m=9.11\times10^{-31}\,\text{kg}$)が、磁束密度 $B=2.0\times10^{-3}\,\text{T}$ の一様な磁場に垂直な向きに、速さ $v=2.0\times10^{6}\,\text{m/s}$ で飛び込んだ。この電子が描く円運動の半径を求めよ。

答え

$r=\dfrac{mv}{qB}=\dfrac{9.11\times10^{-31}\times2.0\times10^{6}}{1.6\times10^{-19}\times2.0\times10^{-3}}=\dfrac{1.822\times10^{-24}}{3.2\times10^{-22}}\approx5.7\times10^{-3}\,\text{m}$(約5.7mm)