運動エネルギーと位置エネルギー

要点整理

前のページでは、力がする「仕事」について学びました。このページでは、仕事と深く関わる「エネルギー」という考え方を学びます。エネルギーとは、ひとことで言えば「仕事をする能力」のことです。

運動エネルギー

運動している物体は、他の物体にぶつかって仕事をする能力を持っています。この、運動していることによって持つエネルギーを運動エネルギーと呼び、記号 $K$ で表します。

運動エネルギーの式を、前のページまでの内容を使って導いてみましょう。質量 $m$ の物体が、静止した状態($v=0$)から、一定の力 $F$ を受けて距離 $x$ だけ移動し、速さ $v$ になったとします。このとき生じる加速度を $a$ とすると、等加速度直線運動の式(2章)より、

$v^2 = 2ax$

が成り立つので、これを $a$ について解くと、

$a = \frac{v^2}{2x}$

一方、この力がした仕事は $W=Fx$ で、運動方程式 $F=ma$ を使うと、

$W = max$

ここに、先ほどの $a=\dfrac{v^2}{2x}$ を代入します。

$W = m\times\frac{v^2}{2x}\times x = \frac{1}{2}mv^2$

この、力がした仕事 $W$ の分だけ、物体は運動エネルギーを得たと考え、これを運動エネルギーの定義とします。

$K = \frac{1}{2}mv^2$

位置エネルギー

高い位置にある物体は、落下する際に他の物体を動かす仕事をする能力を持っています。この、高い位置にあることによって持つエネルギーを位置エネルギーと呼びます(ここでは重力によるものだけを考えます)。

基準となる高さ($h=0$ とする位置)から測った高さを $h$ とすると、質量 $m$ の物体をこの高さまで、一定の速さで(加速せずに)持ち上げるのに必要な力は重さ $mg$ と同じであり、必要な仕事は、

$U = mg\times h = mgh$

です。これを位置エネルギーの定義とします。位置エネルギーは、「どこを基準の高さ($h=0$)にするか」によって値が変わることに注意してください。基準の高さの取り方は自由に決めてよく、多くの場合、地面や机の面などが基準に選ばれます。

仕事とエネルギーの関係

物体に力がはたらいて仕事 $W$ をすると、その分だけ物体の運動エネルギーが変化します。これを式で表すと、

$W = \Delta K = K_{後} - K_{前}$

となります。これを**仕事とエネルギーの関係(仕事とエネルギーの定理)**と呼びます。たとえば、摩擦や空気抵抗がなく、重力だけがはたらいて物体が高さ $h$ だけ落下するとき、重力がする仕事は $W=mgh$ なので、

$mgh = \Delta K$

が成り立ちます。静止した状態から落下し始めた場合、$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$ なので、

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

という関係が得られます。これは、物体が高さ $h$ だけ落下したときの速さを求めるのに、とても便利な関係式です。

下のシミュレーションで、物体が自由落下する様子と、そのときの運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ が、時間とともにどう変化するかを棒グラフで確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

質量 $2\ \mathrm{kg}$ の物体が、速さ $6\ \mathrm{m/s}$ で運動している。この物体の運動エネルギーを求めよ。

解答・解説を見る

$K=\dfrac{1}{2}mv^2$ に $m=2$、$v=6$ を代入します。

$K = \frac{1}{2}\times 2\times 6^2 = \frac{1}{2}\times 2\times 36 = 36\ \mathrm{J}$

答え:$36\ \mathrm{J}$

例題2(標準)

問題

質量 $0.5\ \mathrm{kg}$ のボールが、地面から高さ $10\ \mathrm{m}$ の位置にある。地面を基準としたこのボールの位置エネルギーを求めよ。また、このボールを静かに落としたとき、地面に達する直前の速さを、仕事とエネルギーの関係を使って求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

位置エネルギー

$U=mgh$ に $m=0.5$、$g=9.8$、$h=10$ を代入します。

$U = 0.5\times 9.8\times 10 = 49\ \mathrm{J}$

地面に達する直前の速さ

空気抵抗を無視すると、重力がする仕事がそのまま運動エネルギーの増加になります。静かに落とすので初めの速さは $0$ で、落下する間に重力がする仕事は位置エネルギーの分だけ、つまり $mgh$ です。

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

両辺を $m$ で割ると、

$gh = \frac{1}{2}v^2$

$v^2$ について解くと、

$v^2 = 2gh = 2\times 9.8\times 10 = 196$

$v = \sqrt{196} = 14\ \mathrm{m/s}$

答え:位置エネルギー $49\ \mathrm{J}$、地面に達する直前の速さ $14\ \mathrm{m/s}$

例題3(応用)

問題

質量 $60\ \mathrm{kg}$ のスキーヤーが、摩擦のない斜面の、高さ $20\ \mathrm{m}$ の地点から静かに滑り出した。斜面の下(高さ $0$)に達したときの速さと、そのときの運動エネルギーを求めよ。また、それが最初の位置エネルギーと一致することを確認せよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

速さ

例題2と同じ考え方で、$v=\sqrt{2gh}$ を使います。

$v = \sqrt{2\times 9.8\times 20} = \sqrt{392} \approx 19.8\ \mathrm{m/s}$

運動エネルギー

$K=\dfrac{1}{2}mv^2$ に $m=60$、$v^2=392$(丸める前の値を使います)を代入します。

$K = \frac{1}{2}\times 60\times 392 = 11760\ \mathrm{J}$

最初の位置エネルギーとの比較

最初の位置エネルギーは、

$U = mgh = 60\times 9.8\times 20 = 11760\ \mathrm{J}$

運動エネルギー $K$ と、最初の位置エネルギー $U$ が、どちらも $11760\ \mathrm{J}$ で一致していることが確認できました。

答え:速さ 約 $19.8\ \mathrm{m/s}$、運動エネルギー $11760\ \mathrm{J}$(最初の位置エネルギーと一致)

練習問題

問題

質量 $1\ \mathrm{kg}$ のボールを、高さ $5\ \mathrm{m}$ の位置から静かに落とした。空気抵抗を無視して、地面に達する直前の速さと運動エネルギーを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

答え

速さ:$v=\sqrt{2\times9.8\times5}=\sqrt{98}\approx 9.9\ \mathrm{m/s}$

運動エネルギー:$K=mgh=1\times9.8\times5=49\ \mathrm{J}$