運動量保存則と衝突

要点整理

前のセクションで、1つの物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化に等しいことを学びました。ここでは、この考え方を2つの物体が衝突する場面に応用し、運動量保存則という強力な法則を導きます。

運動量保存則の導出

質量 $m_1$、速度 $v_1$ の物体1と、質量 $m_2$、速度 $v_2$ の物体2が、一直線上で衝突したとします。衝突によって、物体1の速度は $v_1\,'$ に、物体2の速度は $v_2\,'$ に変化したとします。

衝突の間、物体1は物体2から力を受け、物体2は物体1から力を受けます。ニュートンの運動の第3法則(作用・反作用の法則)より、この2つの力は大きさが等しく、向きが反対です。物体1が物体2から受ける力を $F$ とすると、物体2が物体1から受ける力は $-F$ と書けます。衝突にかかった時間を $\Delta t$ とすると、前のセクションで学んだ「力積 $=$ 運動量の変化」の関係を、それぞれの物体について立てることができます。

物体1について:

$F\Delta t = m_1v_1\,' - m_1v_1$

物体2について:

$-F\Delta t = m_2v_2\,' - m_2v_2$

この2つの式を辺々足し合わせると、左辺は $F\Delta t + (-F\Delta t) = 0$ となって消えます。したがって、

$0 = (m_1v_1\,' - m_1v_1) + (m_2v_2\,' - m_2v_2)$

これを整理すると、

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1\,' + m_2v_2\,'$

という式が得られます。左辺は衝突前の運動量の合計、右辺は衝突後の運動量の合計です。つまり、衝突の前後で、2物体の運動量の合計は変化しないということが示されました。これを運動量保存則と呼びます。

この法則が成り立つ理由は、物体1と物体2がおよぼし合う力(内力)が、作用・反作用の法則によって常に打ち消し合うためです。外部から余分な力(たとえば床との摩擦など)が加わらない限り、この法則はどんな衝突(弾性衝突であっても、非弾性衝突であっても)に対しても成り立ちます。

反発係数

衝突の前後で運動量の合計は保存されますが、それだけでは衝突後の $v_1\,'$、$v_2\,'$ をそれぞれ決めることはできません(未知数が2つに対して式が1つしかないためです)。そこで、衝突の「はずみやすさ」を表す反発係数(はねかえり係数) $e$ という量を導入します。

$e = -\frac{v_1\,' - v_2\,'}{v_1 - v_2}$

この式の分母 $v_1-v_2$ は衝突前の相対速度、分子の $v_1\,'-v_2\,'$ は衝突後の相対速度を表しています。2つの物体は衝突前には近づいていて($v_1-v_2$ は物体1から見て物体2に近づく向きの符号をもつ)、衝突後には離れていく(符号が反転する)ため、マイナスの符号がついています。反発係数 $e$ は必ず $0\le e\le1$ の範囲の値をとります。

• $e=1$ のとき:衝突前後で相対速度の大きさが変わらない衝突を弾性衝突と呼びます。弾性衝突では、力学的エネルギー(運動エネルギーの合計)も衝突の前後で保存されます。
• $e=0$ のとき:衝突後に $v_1\,'=v_2\,'$ となり、2つの物体が同じ速度で一体となって運動します。これを完全非弾性衝突と呼びます。
• $0

運動量保存則の式と反発係数の式は、衝突後の速度 $v_1\,'$、$v_2\,'$ を求めるための連立方程式として使うことができます。この2つの式が、衝突の問題を解くための基本セットになります。

$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1\,' + m_2v_2\,'$

$e = -\frac{v_1\,' - v_2\,'}{v_1 - v_2}$

下のシミュレーションでは、2つの物体の質量と初速度、反発係数を変えられます。衝突の前後で運動量の合計(表示される値)が変化しないことを確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

右向きに4.0 m/sで進む質量3.0 kgの台車Aが、静止している質量1.0 kgの台車Bに衝突し、衝突後2つの台車は一体となって進みました(完全非弾性衝突)。衝突後の速さを求めなさい。

解答・解説を見る

完全非弾性衝突なので、衝突後は2つの台車が同じ速度 $v\,'$ で一体となって運動します。運動量保存則を使うと、

$m_A v_A + m_B v_B = (m_A + m_B) v\,'$

数値を代入すると、Bは静止していたので $v_B=0$ です。

$3.0 \times 4.0 + 1.0 \times 0 = (3.0 + 1.0)\times v\,'$

$12.0 = 4.0 \times v\,'$

$v\,' = \frac{12.0}{4.0} = 3.0 \text{ m/s}$

したがって、衝突後の速さは3.0 m/sです。

例題2(標準)

問題

右向きに6.0 m/sで進む質量2.0 kgの球Aが、静止している質量2.0 kgの球Bに正面衝突しました。反発係数が $e=1$(弾性衝突)であるとき、衝突後のAとBの速度をそれぞれ求めなさい。

解答・解説を見る

右向きを正として、$m_A=2.0$ kg、$v_A=6.0$ m/s、$m_B=2.0$ kg、$v_B=0$ とします。

運動量保存則より、

$m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A\,' + m_B v_B\,'$

$2.0\times6.0 + 2.0\times0 = 2.0\,v_A\,' + 2.0\,v_B\,'$

$12.0 = 2.0\,v_A\,' + 2.0\,v_B\,' \quad \cdots ①$

反発係数の式より($e=1$)、

$e = -\frac{v_A\,'-v_B\,'}{v_A-v_B}$

$1 = -\frac{v_A\,'-v_B\,'}{6.0-0}$

$v_A\,'-v_B\,' = -6.0 \quad \cdots ②$

①を2.0で割ると $v_A\,'+v_B\,'=6.0$ となるので、これと②を連立させます。②より $v_A\,' = v_B\,' - 6.0$ なので、これを $v_A\,'+v_B\,'=6.0$ に代入すると、

$(v_B\,'-6.0) + v_B\,' = 6.0$

$2v_B\,' = 12.0$

$v_B\,' = 6.0 \text{ m/s}$

これを②に代入すると、$v_A\,' = 6.0 - 6.0 = 0$ m/s。

したがって、衝突後Aは静止し($v_A\,'=0$)、Bが6.0 m/sで進みます($v_B\,'=6.0$ m/s)。これは、質量が等しい2つの物体が弾性衝突すると、速度がそっくり入れ替わる、という有名な性質を示しています。

例題3(応用)

問題

右向きに8.0 m/sで進む質量1.0 kgの球Aと、左向きに2.0 m/sで進む質量3.0 kgの球Bが正面衝突し、反発係数は $e=0.5$ でした。衝突後のAとBの速度をそれぞれ求めなさい。

解答・解説を見る

右向きを正として、$m_A=1.0$ kg、$v_A=8.0$ m/s、$m_B=3.0$ kg、$v_B=-2.0$ m/sとします。

運動量保存則より、

$m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A\,' + m_B v_B\,'$

$1.0\times8.0 + 3.0\times(-2.0) = 1.0\,v_A\,' + 3.0\,v_B\,'$

$8.0 - 6.0 = v_A\,' + 3.0\,v_B\,'$

$v_A\,' + 3.0\,v_B\,' = 2.0 \quad \cdots ①$

反発係数の式より、

$e = -\frac{v_A\,'-v_B\,'}{v_A-v_B}$

$0.5 = -\frac{v_A\,'-v_B\,'}{8.0-(-2.0)} = -\frac{v_A\,'-v_B\,'}{10.0}$

$v_A\,'-v_B\,' = -5.0 \quad \cdots ②$

②より $v_A\,' = v_B\,' - 5.0$ なので、これを①に代入します。

$(v_B\,'-5.0) + 3.0\,v_B\,' = 2.0$

$4.0\,v_B\,' = 7.0$

$v_B\,' = 1.75 \text{ m/s}$

これを②に代入すると、

$v_A\,' = 1.75 - 5.0 = -3.25 \text{ m/s}$

したがって、衝突後Aは左向きに3.25 m/s、Bは右向きに1.75 m/sで進みます。念のため運動量保存則で検算すると、$1.0\times(-3.25)+3.0\times1.75 = -3.25+5.25=2.0$ となり、①の右辺と一致するので正しいことが確認できます。

練習問題

問題

右向きに5.0 m/sで進む質量4.0 kgの台車Aが、静止している質量6.0 kgの台車Bに衝突し、反発係数 $e=0.4$ でした。衝突後のAとBの速度をそれぞれ求めなさい。

答え

運動量保存則:$4.0\times5.0+6.0\times0 = 4.0v_A\,'+6.0v_B\,'$ より $4v_A\,'+6v_B\,'=20$。反発係数:$0.4=-\dfrac{v_A\,'-v_B\,'}{5.0-0}$ より $v_A\,'-v_B\,'=-2.0$。連立して解くと $v_A\,'=0.8$ m/s、$v_B\,'=2.8$ m/s。