摩擦力

要点整理

床の上に置かれた物体を押しても、弱い力ではまったく動かないことがあります。これは、物体と床の間にはたらく摩擦力が、物体を動かそうとする力に逆らっているためです。摩擦力には、状況によって性質の異なる2種類があります。

静止摩擦力:必要な分だけはたらく力

物体が静止したままのとき、面から受けている摩擦力を静止摩擦力と呼びます。ここでとても大切な性質があります。それは、静止摩擦力は常に一定の値ではなく、物体を動かそうとする力(たとえば手で押す力)とちょうどつり合うだけの大きさに、そのつど自動的に調整される、ということです。

たとえば、重い荷物を弱い力で押しても動かないのは、静止摩擦力がその弱い力とちょうど同じ大きさだけ生じて、つり合っているからです。押す力を強くしていくと、静止摩擦力もそれに合わせて大きくなっていきます。

しかし、静止摩擦力にも限界があります。この限界の大きさを最大摩擦力と呼び、次の式で表されます。

$f_{max} = \mu N$

ここで $\mu$(ミュー)は静止摩擦係数と呼ばれる、面の組み合わせによって決まる定数(単位はありません)、$N$ は垂直抗力です。押す力が最大摩擦力を超えると、静止摩擦力ではもう support しきれなくなり、物体は滑り出します。

動摩擦力:滑っているときの摩擦力

物体がすでに滑り出して動いているときにはたらく摩擦力を動摩擦力と呼びます。動摩擦力の大きさは、

$f' = \mu' N$

で表されます。$\mu'$(ミューダッシュ)は動摩擦係数で、一般に静止摩擦係数 $\mu$ より小さい値になります($\mu' < \mu$)。つまり、物体は「動き出す瞬間」に一番大きな摩擦力に逆らう必要があり、いったん動き出してしまえば、少し小さい摩擦力で済むようになります。

斜面上での摩擦

摩擦のある斜面に物体を置いた場合を考えます。角度 $\theta$ の斜面上で、物体にはたらく重力 $mg$ を、斜面に平行な成分 $mg\sin\theta$ と、斜面に垂直な成分 $mg\cos\theta$ に分解します(この分解のしかたは前のページで学んだとおりです)。斜面に垂直な方向のつり合いから、垂直抗力は $N=mg\cos\theta$ です。

物体が静止していられるのは、斜面に平行な重力成分が、最大摩擦力を超えない場合です。

$mg\sin\theta \leq \mu mg\cos\theta$

両辺を $mg\cos\theta$ で割ると、

$\tan\theta \leq \mu$

という、とてもシンプルな条件が得られます。つまり、斜面の角度の $\tan$ が摩擦係数 $\mu$ より大きくなると、物体は斜面を滑り落ち始めます。

滑り出した後は、斜面に沿った方向に、重力の成分 $mg\sin\theta$ と動摩擦力 $\mu' mg\cos\theta$ の差だけの力がはたらき続けます。次のページで詳しく学ぶ運動の法則(ニュートンの第二法則)を先取りすると、このときの加速度 $a$ は、

$a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$

となります(質量 $m$ で両辺を割った関係になっています)。下のシミュレーションでは、この式を使って、斜面を滑り落ちる物体の運動を再現しています。角度と摩擦係数を変えて、$\tan\theta$ が $\mu$ を超えると滑り出す様子を確認してみましょう。なお、このシミュレーションでは簡単のため、静止摩擦係数と動摩擦係数を同じ値 $\mu$ として扱っています。

例題

例題1(基本)

問題

水平な床の上に置かれた物体には、$50\ \mathrm{N}$ の垂直抗力がはたらいている。物体と床の間の静止摩擦係数を $0.4$ とするとき、最大摩擦力を求めよ。また、この物体を水平に $15\ \mathrm{N}$ の力で引いたとき、物体は動くか。動かない場合、実際にはたらいている静止摩擦力の大きさを求めよ。

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最大摩擦力

$f_{max}=\mu N$ に $\mu=0.4$、$N=50$ を代入します。

$f_{max} = 0.4\times 50 = 20\ \mathrm{N}$

15Nで引いたときの様子

引く力 $15\ \mathrm{N}$ は、最大摩擦力 $20\ \mathrm{N}$ より小さいので、物体は動きません。物体が静止している以上、水平方向の力はつり合っているはずなので、実際にはたらいている静止摩擦力は、引く力とちょうど同じ大きさです。

$f = 15\ \mathrm{N}$

答え:最大摩擦力 $20\ \mathrm{N}$、物体は動かず、静止摩擦力は $15\ \mathrm{N}$

ここが最も間違えやすいポイントです。静止摩擦力は「最大摩擦力と同じ値」になるわけではありません。動いていない限り、加えた力と同じ大きさになります。

例題2(標準)

問題

質量 $5\ \mathrm{kg}$ の物体が水平な床の上にある。物体と床の間の静止摩擦係数は $0.5$、動摩擦係数は $0.3$ である。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

(1) 水平に $20\ \mathrm{N}$ の力で押したとき、物体は動くか。 (2) 水平に $30\ \mathrm{N}$ の力で押したとき、物体の加速度を求めよ。

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最大摩擦力

$f_{max} = \mu mg = 0.5\times 5\times 9.8 = 24.5\ \mathrm{N}$

(1) 20Nで押したとき

$20\ \mathrm{N} < 24.5\ \mathrm{N}$ なので、物体は動きません。

(2) 30Nで押したとき

$30\ \mathrm{N} > 24.5\ \mathrm{N}$ なので、物体は動き出します。動いている間の摩擦力は動摩擦力になるので、

$f' = \mu' mg = 0.3\times 5\times 9.8 = 14.7\ \mathrm{N}$

物体にはたらく力のうち、運動の向きに実際に効いてくる力(合力)は、押す力から動摩擦力を引いたものです。

$30 - 14.7 = 15.3\ \mathrm{N}$

この合力によって生じる加速度は、力を質量で割って求められます(この関係は次のページで詳しく学びます)。

$a = \frac{15.3}{5} = 3.06\ \mathrm{m/s^2}$

答え:(1) 動かない、(2) 加速度は $3.06\ \mathrm{m/s^2}$

例題3(応用)

問題

質量 $2\ \mathrm{kg}$ の物体を、角度 $30°$ の斜面の上に置いた。斜面との間の静止摩擦係数は $0.3$、動摩擦係数は $0.2$ である。この物体は滑り出すか。滑り出す場合は、そのときの加速度を求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$、$\sin 30°=0.5$、$\cos 30°\approx 0.87$ とする。

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滑り出すかどうかの判定

$\tan 30° = \dfrac{\sin 30°}{\cos 30°} = \dfrac{0.5}{0.87} \approx 0.575$ です。これを静止摩擦係数 $\mu=0.3$ と比較すると、

$\tan 30° \approx 0.575 > \mu = 0.3$

となり、斜面に平行な重力成分が最大摩擦力を超えるため、物体は滑り出します。

加速度

滑り出した後は動摩擦係数 $\mu'=0.2$ を使います。

$a = g(\sin\theta-\mu'\cos\theta) = 9.8\times(0.5 - 0.2\times 0.87)$

かっこの中を先に計算します。

$0.5 - 0.2\times 0.87 = 0.5 - 0.174 = 0.326$

これを使って、

$a = 9.8\times 0.326 \approx 3.2\ \mathrm{m/s^2}$

答え:物体は滑り出す。加速度は約 $3.2\ \mathrm{m/s^2}$(斜面に沿って下向き)

練習問題

問題

水平な床の上にある物体にはたらく重力の大きさは $40\ \mathrm{N}$ である。静止摩擦係数を $0.5$ とするとき、最大摩擦力を求めよ。また、この物体を水平に $12\ \mathrm{N}$ の力で押したとき、実際にはたらく摩擦力の大きさを求めよ。

答え

最大摩擦力:$f_{max}=0.5\times 40=20\ \mathrm{N}$

$12\ \mathrm{N} < 20\ \mathrm{N}$ なので物体は動かず、はたらく摩擦力は $12\ \mathrm{N}$(加えた力と同じ大きさ)