波頻出解法パターン | 高校物理まるごと解説

パターン1: 波の基本式(v=fλ)を使いこなす

こんな問題で使う

振幅・周期・波長・振動数・速さのうち、いくつかの値が与えられて、残りの値を求める問題。

解法の手順

問題文から、与えられている量($A$、$f$、$\lambda$、$T$、$v$ のうちどれか)を整理する。
$f$ と $T$ が両方使われていない場合は、$f=\dfrac{1}{T}$(または $T=\dfrac{1}{f}$)の関係を使って、必要な方に変換する。
$v=f\lambda$ に、分かっている値を代入する。求めたい量に応じて、$f=\dfrac{v}{\lambda}$ や $\lambda=\dfrac{v}{f}$ のように式を変形してから代入してもよい。
計算結果の単位([m/s]、[Hz]、[m]、[s]など)を確認する。

具体例

周期 $0.2\,\text{s}$、波長 $3.4\,\text{m}$ の波の速さを求める。まず $f=\dfrac{1}{0.2}=5\,\text{Hz}$。次に $v=f\lambda=5\times3.4=17\,\text{m/s}$。

パターン2: 波形グラフから媒質の振動方向を求める(波を少しずらす方法)

こんな問題で使う

横波の位置-変位グラフ($y$-$x$ グラフ)が与えられ、ある1点が今どちら向きに動いているかを問う問題。

解法の手順

波の進行方向(右向きか左向きか)を確認する。
着目する点を中心に、波形全体を進行方向にほんの少しだけ(頭の中で)ずらしたところを想像する。
ずらしたあと、着目する点の変位が、今の値より増えるか減るかを調べる。
増えていれば、その点は上向きに動いている。減っていれば、下向きに動いている。

具体例

右向きに進む波で、着目する点のすぐ左側(波が来る側)の変位がプラスだった場合、波形を右にずらすとその「左側にあったプラスの変位」が着目点にやってくるので、着目点の変位はこれから増える。つまり、その点は上向きに動いている。

パターン3: 縦波を横波表示に変換して密・疎を読み取る

こんな問題で使う

縦波の変位グラフ(進行方向を正として横波のように描かれたもの)から、密な点・疎な点の位置を求める問題。

解法の手順

変位の正の向きが、波の進行方向(多くの場合は右向き)に決められていることを確認する。
グラフを $x$ の正の向き(右向き)にたどり、変位が「正から負」へ0を横切る点を探す。その点は密である。
グラフを $x$ の正の向き(右向き)にたどり、変位が「負から正」へ0を横切る点を探す。その点は疎である。

具体例

$x=1\,\text{m}$ の付近で、右にたどると変位が正から負に変化していれば、$x=1\,\text{m}$ は密の点である。

パターン4: 反射波の作図(固定端・自由端)

こんな問題で使う

入射パルスの形と、反射端の種類(固定端か自由端か)が与えられ、反射後の波形を求める問題。

解法の手順

反射する端が固定端か自由端かを確認する。
固定端の場合は、入射波形を上下に反転させた形(位相反転)が、反射波の形になる。
自由端の場合は、入射波形をそのままの向き(位相そのまま)で、反射波の形とする。
反射波は、入射波と同じ速さで、逆向きに進む波として描く。

具体例

「山」のパルスが固定端に当たると、上下反転して「谷」のパルスとして戻ってくる。自由端の場合は「山」のまま戻ってくる。

パターン5: うなりの振動数から未知の振動数を求める(2通りの候補を絞り込む)

こんな問題で使う

振動数が分かっている音源と、振動数が分からない音源を同時に鳴らしたときのうなりの回数から、未知の振動数を求める問題(追加の操作によって候補を1つに絞り込む形式が多い)。

解法の手順

既知の振動数 $f_{\text{既知}}$ と、うなりの回数 $n$ から、未知の振動数の候補を2つ出す:$f_{\text{未知}}=f_{\text{既知}}+n$ または $f_{\text{既知}}-n$。
候補を1つに絞るための追加情報(おもりを付けて振動数を下げた、弦を強く張って振動数を上げた、など)を確認する。
その操作のあとでうなりの回数が増えたか減ったかを調べる。振動数の差が広がれば回数は増え、差が縮まれば回数は減る。この関係から、2つの候補のうちどちらが矛盾しないかを判断する。

具体例

$440\,\text{Hz}$ の音さと同時に鳴らして5回のうなりが聞こえていた未知の音さに、おもりを付けて振動数を下げたところ、うなりが3回に減った。振動数を下げて440Hzに近づいた(差が縮まった)ということなので、未知の音さはもともと $440\,\text{Hz}$ より高い、$445\,\text{Hz}$ だったと分かる。

パターン6: 音速と気温の関係式を使った、気温・距離・時間の相互計算

こんな問題で使う

気温から音速を求める問題、または「音が聞こえるまでの時間」から距離や気温を求める問題。

解法の手順

$V=331.5+0.6t$ の式を使って、気温 $t$[℃]から音速 $V$ を求める(または、$V$ が分かっていれば式を $t$ について解いて気温を求める)。
「距離 $=$ 速さ $\times$ 時間」の関係を使って、距離・時間・速さのうち分かっている2つから残り1つを求める。
崖や壁に反射する音(やまびこ)の場合は、音が音源から反射点まで往復していることに注意し、音が進んだ距離は「音源から反射点までの距離 $\times 2$」であることを確認する。

具体例

気温 $20$℃で、崖に向かって声を出してから、やまびこが $2.0\,\text{s}$ 後に聞こえた場合。まず音速は $V=331.5+0.6\times20=343.5\,\text{m/s}$。音が進んだ往復距離は $343.5\times2.0=687\,\text{m}$。崖までの距離はその半分の $343.5\,\text{m}$。

パターン7: ドップラー効果の公式に正しく符号を入れて代入する

こんな問題で使う

音源・観測者の一方、または両方が動く場合に、観測者が聞く振動数を求める問題。

解法の手順

「音源から観測者へ向かう向き」を正の向きと決める。
音源の速度 $v_s$ を、その正の向きを基準にした符号付きの値として求める(音源が観測者に近づく向きなら正、遠ざかる向きなら負)。
観測者の速度 $v_o$ も同様に、正の向きを基準にした符号付きの値として求める(観測者が音源から遠ざかる向きなら正、近づく向きなら負)。
$f'=\dfrac{V-v_o}{V-v_s}f$ に代入して計算する。
求めた振動数が、「近づく側は高く、遠ざかる側は低く聞こえるはず」という直感と合っているかを確認する。

具体例

音源が観測者に $20\,\text{m/s}$ で近づき($v_s=+20$)、観測者は静止($v_o=0$)、$V=340\,\text{m/s}$、$f=480\,\text{Hz}$ の場合、$f'=\dfrac{340-0}{340-20}\times480=\dfrac{340}{320}\times480=510\,\text{Hz}$。近づいているので、もとの $480\,\text{Hz}$ より高くなっており、直感と一致する。