全反射

要点整理

前のページでは、屈折率 $n_1$ の媒質から屈折率 $n_2$ の媒質へ光が進むとき、スネルの法則

$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$

が成り立つことを学びました。ここでは、光が屈折率の大きい(密な)媒質から、屈折率の小さい(疎な)媒質へ進む場合($n_1>n_2$)を詳しく考えます。

屈折角が90°になる

スネルの法則を $\sin\theta_2$ について解くと、

$\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1$

$n_1>n_2$ なので $\dfrac{n_1}{n_2}>1$ となり、$\sin\theta_2>\sin\theta_1$、つまり $\theta_2>\theta_1$ になります。屈折光は、入射光よりも法線から遠ざかる(境界面に近づく)向きに曲がるということです。

入射角 $\theta_1$ を少しずつ大きくしていくと、屈折角 $\theta_2$ はそれよりも速く大きくなっていき、やがて $\theta_2=90°$(屈折光が境界面すれすれに進む)に達します。このときの入射角を「臨界角」と呼び、$\theta_c$ で表します。

臨界角の式を導く

スネルの法則で $\theta_1=\theta_c$、$\theta_2=90°$ とおくと、

$n_1\sin\theta_c = n_2\sin90°$

$\sin90°=1$ なので、

$n_1\sin\theta_c = n_2$

両辺を $n_1$ で割ると、

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$

全反射が起こる条件

入射角がさらに大きくなり、$\theta_1>\theta_c$ になると、スネルの法則から求まる $\sin\theta_2=\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1$ の値が $1$ を超えてしまいます。しかし $\sin$ の値は $1$ を超えられないので、これは「屈折光が存在しない」ことを意味します。

このとき、境界面に入射した光のエネルギーは屈折によって外に逃げることができず、すべて反射光として跳ね返ります。この現象を「全反射」と呼びます。全反射は、光が密な媒質から疎な媒質へ進むとき($n_1>n_2$)にしか起こりません。反対向き(疎から密)に進むときは、屈折角は必ず入射角より小さくなるので、全反射は起こりません。

全反射は、光ファイバーの中で光を閉じ込めて遠くまで伝える仕組みや、ダイヤモンドが強く輝いて見える理由など、身近な現象にも応用されています。

下のシミュレーションで、上側の媒質(密、屈折率 $n_1$)の屈折率と入射角を変えながら、入射角が臨界角を超えると屈折光が消えて全反射だけになる様子を確認してみましょう(下側の媒質は空気、$n_2=1.0$ とします)。

例題

例題1(基本)

問題

ガラス($n_1=1.5$)から空気($n_2=1.0$)へ光が進むとき、臨界角 $\theta_c$ を求めよ。

解答・解説を見る

臨界角の式 $\sin\theta_c=\dfrac{n_2}{n_1}$ に、$n_1=1.5$、$n_2=1.0$ を代入します。

$\sin\theta_c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

$\theta_c = \sin^{-1}(0.667) \approx 41.8°$

答え:$\theta_c\approx41.8°$

例題2(標準)

問題

水($n=1.33$)の中から水面(空気側、$n=1.0$)に向かって、入射角 $50°$ で光が進んだ。全反射が起こるかどうか調べよ。

解答・解説を見る

まず臨界角を求めます。

$\sin\theta_c = \frac{1.0}{1.33} \approx 0.752$

$\theta_c \approx 48.8°$

入射角 $50°$ は臨界角 $48.8°$ より大きいので、全反射が起こります。

答え:全反射が起こる($50°>48.8°$)

例題3(応用)

問題

光ファイバーの芯(コア)の屈折率は $n_1=1.50$、まわりを包む部分(クラッド)の屈折率は $n_2=1.45$ である。コアの中を進む光が、コアとクラッドの境界に入射角 $80°$ で当たったとする。(1)臨界角を求めよ。(2)全反射は起こるか。また、光ファイバーが光をよく通すために、光をコアの軸にほぼ平行に入射させる理由を説明せよ。

解答・解説を見る

(1) 臨界角の式に $n_1=1.50$、$n_2=1.45$ を代入します。

$\sin\theta_c = \frac{1.45}{1.50} \approx 0.967$

$\theta_c \approx 75.2°$

(2) 入射角 $80°$ は臨界角 $75.2°$ より大きいので、全反射が起こります。

光ファイバーの軸にほぼ平行に光を入射させると、光は境界面に対してほとんど平行に近い、つまり法線から見て非常に大きい角度で当たり続けます。この角度が常に臨界角を超えていれば、光は境界に当たるたびに全反射を繰り返し、外へ漏れることなくコアの中に閉じ込められたまま、長い距離を伝わっていくことができます。

答え:(1) $\theta_c\approx75.2°$ (2) 全反射が起こる。軸に近い角度で入射させることで、境界面に大きい角度(臨界角以上)で当たり続け、全反射を繰り返してコア内に光を閉じ込められるため。

練習問題

問題

ダイヤモンド($n=2.42$)の中から空気($n=1.0$)へ向かう光の臨界角を求めよ。

答え

$\sin\theta_c=\dfrac{1.0}{2.42}\approx0.413$ より、$\theta_c\approx24.4°$。臨界角が小さいため、ダイヤモンドの内部では全反射が起こりやすく、強く輝いて見える。