力の合成と分解

要点整理

前のページでは、力がつり合う条件について学びました。このページでは、複数の力を1つにまとめたり(合成)、逆に1つの力を2つの方向に分けたり(分解)する方法を学びます。

力の合成:平行四辺形の法則

2つの力 $\vec{F_1}$、$\vec{F_2}$ が同じ点にはたらいているとき、この2つを1つの力にまとめたものを合力と呼びます。合力を求めるには、$\vec{F_1}$ と $\vec{F_2}$ を2辺とする平行四辺形を描き、その対角線(2つの力の始点から引いた対角線)を作ります。この対角線が合力を表します。これを平行四辺形の法則と呼びます。

図形的に平行四辺形を描いて合力を求めることもできますが、角度が中途半端な場合は計算が大変です。そこで実際の問題では、次に説明する「成分に分解してから計算する」方法をよく使います。

力の分解:成分に分ける

平行四辺形の法則とは逆に、1つの力を、互いに垂直な2方向(たとえば水平方向と鉛直方向)の力に分けることを力の分解といい、分けた後のそれぞれの力を分力と呼びます。

力 $F$ が、x軸から測って角度 $\theta$ の向きにはたらいているとします。この力を、x方向の分力 $F_x$ と、y方向の分力 $F_y$ に分解すると、直角三角形の三角比の関係から、

$F_x = F\cos\theta$

$F_y = F\sin\theta$

となります。逆に、成分 $F_x$、$F_y$ がわかっている力の大きさは、三平方の定理を使って、

$F = \sqrt{F_x^2+F_y^2}$

で求めることができます。この考え方は、斜面上の物体にはたらく重力を「斜面に沿った成分」と「斜面に垂直な成分」に分解するときなど、これから何度も登場する、とても大切な計算方法です。

下のシミュレーションで、力の大きさ $F$ と角度 $\theta$ を変えながら、水平成分 $F_x$ と鉛直成分 $F_y$ がどう変化するか確認してみましょう。点線は、力を2辺とする長方形(平行四辺形の特別な場合)を表しています。

例題

例題1(基本)

問題

水平から $30°$ の角度で、大きさ $10\ \mathrm{N}$ の力でロープを引いている。この力の水平成分と鉛直成分を求めよ。$\cos 30°\approx 0.87$、$\sin 30°=0.5$ とする。

解答・解説を見る

$F_x=F\cos\theta$ に $F=10$、$\theta=30°$ を代入します。

$F_x = 10\times 0.87 = 8.7\ \mathrm{N}$

$F_y=F\sin\theta$ に同じ値を代入します。

$F_y = 10\times 0.5 = 5\ \mathrm{N}$

答え:水平成分 $8.7\ \mathrm{N}$、鉛直成分 $5\ \mathrm{N}$

例題2(標準)

問題

摩擦のない、角度 $30°$ の斜面の上に、重さ $50\ \mathrm{N}$ の物体が置かれている。この物体にはたらく重力を、斜面に平行な成分と、斜面に垂直な成分に分解し、それぞれの大きさを求めよ。$\cos 30°\approx 0.87$、$\sin 30°=0.5$ とする。

解答・解説を見る

斜面の角度が $\theta=30°$ のとき、重力(斜面に対して鉛直下向きではなく、真下向きの力)を斜面方向に分解すると、斜面に平行な成分は $mg\sin\theta$、斜面に垂直な成分は $mg\cos\theta$ になります(斜面の傾き $\theta$ だけ、重力の向きと斜面の垂直方向とがずれているためです)。

斜面に平行な成分

$mg\sin\theta = 50\times 0.5 = 25\ \mathrm{N}$

斜面に垂直な成分

$mg\cos\theta = 50\times 0.87 = 43.5\ \mathrm{N}$

答え:斜面に平行な成分 $25\ \mathrm{N}$、斜面に垂直な成分 $43.5\ \mathrm{N}$

この「重力を斜面方向に分解する」考え方は、斜面の問題を解くときに何度も使う、とても重要なパターンです。

例題3(応用)

問題

1つのリングに2本のロープがついている。ロープAは水平方向に $12\ \mathrm{N}$ の力でリングを引いており、ロープBは、水平から $60°$ の角度で、ロープAとは反対向きの水平成分を持つように張力 $T$ で引いている。ロープAとロープBの水平成分の大きさがちょうど等しいとき、$T$ の大きさと、AとBを合成した力(合力)の大きさを求めよ。$\cos 60°=0.5$、$\sin 60°\approx 0.87$ とする。

解答・解説を見る

Tの大きさ

ロープBの水平成分は $T\cos 60°$ です。これがロープAの $12\ \mathrm{N}$ と等しいので、

$T\cos 60° = 12$

$T\times 0.5 = 12$

$T = 24\ \mathrm{N}$

合力の大きさ

ロープAとロープBの水平成分は、大きさが等しく向きが反対なので、合成するとちょうど打ち消し合って $0$ になります。したがって、合力はロープBの鉛直成分だけが残ります。

$T\sin 60° = 24\times 0.87 = 20.9\ \mathrm{N}$

答え:$T=24\ \mathrm{N}$、合力の大きさは約 $20.9\ \mathrm{N}$(鉛直方向)

練習問題

問題

水平から $37°$ の角度で、大きさ $20\ \mathrm{N}$ の力でロープを引いている。この力の水平成分と鉛直成分を求めよ。$\cos 37°=0.80$、$\sin 37°=0.60$ とする。

答え

水平成分:$F_x=20\times 0.80=16\ \mathrm{N}$

鉛直成分:$F_y=20\times 0.60=12\ \mathrm{N}$