定常波

要点整理

前のページで学んだ正弦波の式を使って、2つの波が重なり合うとどうなるかを考えます。特に、同じ振幅・同じ波長・同じ周期の波が、互いに逆向きに進んで重なるときにできる特別な波を「定常波(定在波)」と呼びます。

2つの波を用意する

$+x$ 方向に進む波を $y_1$、$-x$ 方向に進む波を $y_2$ とし、どちらも振幅 $A$、周期 $T$、波長 $\lambda$ は共通とします。前のページの式を使うと、

$y_1 = A\sin\left(2\pi\frac{t}{T}-2\pi\frac{x}{\lambda}\right)$

$y_2 = A\sin\left(2\pi\frac{t}{T}+2\pi\frac{x}{\lambda}\right)$

($-x$ 方向に進む波は、$x$ の符号が反対になります。)

波が重なるところでは、変位はそのまま足し算になります(重ね合わせの原理)。そこで、$y=y_1+y_2$ を計算してみましょう。

足し算を計算する

三角関数の和積の公式 $\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)$ を使います。ここで、

$\alpha = 2\pi\frac{t}{T}-2\pi\frac{x}{\lambda},\qquad \beta = 2\pi\frac{t}{T}+2\pi\frac{x}{\lambda}$

とおくと、

$\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\pi\frac{t}{T},\qquad \frac{\alpha-\beta}{2} = -2\pi\frac{x}{\lambda}$

($\cos$ は偶関数なので $\cos(-\theta)=\cos\theta$ が成り立つことに注意します。)これらを代入すると、

$y = y_1+y_2 = 2A\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\cos\left(2\pi\frac{x}{\lambda}\right)$

これが定常波の式です。

式の意味を読み取る

この式は、「$x$ だけで決まる部分」と「$t$ だけで決まる部分」の掛け算になっています。

• $\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)$ の部分は、位置 $x$ ごとに決まるその場所の振動の振幅を表します(時間 $t$ を含まないので、位置ごとに固定された値です)。
• $\sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$ の部分は、すべての点に共通する時間変化を表します。

つまり、すべての点が同時に(同じタイミングで)変位0を通過し、同時に最大・最小になります。波の形が横に移動していかず、その場で振幅だけが位置によって変わりながら振動するように見えるのは、このためです。

節と腹

• 節:$\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)=0$ となる位置。振幅が常に0で、まったく振動しません。$\dfrac{2\pi x}{\lambda}=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$ を解くと、

$x = \frac{\lambda}{4}+n\frac{\lambda}{2}\quad(n=0,1,2,\ldots)$

• 腹:$\left|\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|=1$ となる位置。振幅が最大の $2A$ になります。$\dfrac{2\pi x}{\lambda}=n\pi$ を解くと、

$x = n\frac{\lambda}{2}\quad(n=0,1,2,\ldots)$

隣り合う節と節の間隔、および隣り合う腹と腹の間隔は、どちらも $\dfrac{\lambda}{2}$ になります。また、節と、それに隣り合う腹の間隔は $\dfrac{\lambda}{4}$ です。

下のシミュレーションでは、グレーの2本の破線が互いに逆向きに進む成分波、青の実線がそれらを足し合わせた定常波、赤い点が節の位置を表しています。

例題

例題1(基本)

問題

振幅 $2\ \mathrm{cm}$、波長 $4\ \mathrm{cm}$ の成分波が重なってできた定常波がある。$0\le x\le 8\ \mathrm{cm}$ の範囲で、節と腹の位置をすべて求めよ。

解答・解説を見る

節の位置は $x=\dfrac{\lambda}{4}+n\dfrac{\lambda}{2}$、$\lambda=4$ なので $\dfrac{\lambda}{4}=1$、$\dfrac{\lambda}{2}=2$ を代入すると、

$x = 1+2n\quad(n=0,1,2,\ldots)$

$0\le x\le 8$ の範囲で、$n=0,1,2,3$ を代入すると、$x=1,3,5,7\ \mathrm{cm}$。

腹の位置は $x=n\dfrac{\lambda}{2}=2n$ なので、$n=0,1,2,3,4$ を代入すると、$x=0,2,4,6,8\ \mathrm{cm}$。

答え:節は $x=1,3,5,7\ \mathrm{cm}$、腹は $x=0,2,4,6,8\ \mathrm{cm}$

例題2(標準)

問題

ある定常波を観測したところ、隣り合う節の間隔が $3\ \mathrm{cm}$ であった。この定常波をつくっている成分波の波長 $\lambda$ を求めよ。また、成分波の周期が $T=0.4\ \mathrm{s}$ であるとき、成分波が伝わる速さを求めよ。

解答・解説を見る

隣り合う節と節の間隔は $\dfrac{\lambda}{2}$ に等しいので、

$\frac{\lambda}{2} = 3 \implies \lambda = 6\ \mathrm{cm}$

成分波が伝わる速さは $v=\dfrac{\lambda}{T}$ で求められるので、

$v = \frac{6}{0.4} = 15\ \mathrm{cm/s} = 0.15\ \mathrm{m/s}$

答え:$\lambda=6\ \mathrm{cm}$、$v=15\ \mathrm{cm/s}$

例題3(応用)

問題

成分波の振幅が $A=1.5\ \mathrm{cm}$、波長が $\lambda=8\ \mathrm{cm}$ の定常波がある。ある節を原点 $x=0$ にとったとき、$x=1\ \mathrm{cm}$ の点の振動の振幅を求めよ。

解答・解説を見る

定常波の式 $y=2A\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$ において、位置 $x$ での振動の振幅(最大変位)は、$t$ に関する部分を除いた

$\left|2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|$

で与えられます。$A=1.5$、$\lambda=8$、$x=1$ を代入すると、

$2\pi\frac{x}{\lambda} = 2\pi\times\frac{1}{8} = \frac{\pi}{4}$

$\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$2\times 1.5\times\frac{\sqrt{2}}{2} = 1.5\sqrt{2} \approx 2.12\ \mathrm{cm}$

答え:約 $2.12\ \mathrm{cm}$($1.5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$)

練習問題

問題

成分波の振幅 $A=1\ \mathrm{cm}$、波長 $\lambda=5\ \mathrm{cm}$、周期 $T=1\ \mathrm{s}$ の定常波の式を書け。また、$0\le x\le 10\ \mathrm{cm}$ の範囲での節の位置をすべて求めよ。

答え

式:$y=2\cos\left(\dfrac{2\pi x}{5}\right)\sin(2\pi t)\ [\mathrm{cm}]$

節の位置:$x=\dfrac{5}{4}+2.5n$ より、$x=1.25,\ 3.75,\ 6.25,\ 8.75\ \mathrm{cm}$