ドップラー効果

要点整理

ドップラー効果とは何か

救急車が近づいてくるとき、サイレンの音は実際より高く聞こえ、通り過ぎて遠ざかっていくときは、実際より低く聞こえます。このように、音源や観測者が動くことによって、観測者が聞く音の振動数が、音源が実際に出している振動数とは違って聞こえる現象をドップラー効果といいます。

以下では、音速を $V$、音源がもともと出している音の振動数を $f$、観測者が実際に聞く音の振動数を $f'$ とします。また、これから登場する速度には向きが関係してくるので、最初に次のように決めておきます。

向きの約束:「音源から観測者へ向かう向き」を正の向きとします。音源の速度 $v_s$、観測者の速度 $v_o$ は、どちらもこの正の向きを基準にして、正・負の符号で表します。

音源だけが動く場合

まず、観測者は静止していて、音源だけが観測者に向かって速さ $v_s$($v_s>0$、正の向き)で近づいている場合を考えます。

音源は、周期 $T=\dfrac{1}{f}$ ごとに、次の山(波の盛り上がり)を送り出します。音源が静止していれば、1周期の間に音は $V \times T$ の距離だけ広がるので、山と山の間隔(波長)は $\lambda = VT$ になります。

しかし、音源が動いている場合は事情が変わります。音源はある山を送り出したあと、次の山を送り出すまでの時間 $T$ の間に、自分自身も観測者の方向へ $v_s \times T$ だけ移動します。つまり、2つの山の間隔は、音源が静止していた場合の距離 $VT$ よりも、音源が進んだ分だけ縮まります。

$\lambda' = VT - v_sT = (V-v_s)T$

$T = \dfrac{1}{f}$ なので、これを代入すると、

$\lambda' = (V-v_s)\times\frac{1}{f} = \frac{V-v_s}{f}$

これが、音源の前方にできる、縮められた波長です。

観測者が聞く振動数 $f'$ は、「音が伝わる速さ $V$」を「観測者に届く波長 $\lambda'$」で割ることで求められます(音が媒質中を伝わる速さ自体は、音源が動いていても $V$ のまま変わらないことに注意しましょう)。

$f' = \frac{V}{\lambda'} = V \div \frac{V-v_s}{f} = V \times \frac{f}{V-v_s} = \frac{V}{V-v_s}f$

音源が近づく($v_s>0$)と、分母の $V-v_s$ は $V$ より小さくなるので、$f'$ は $f$ より大きく(高い音に)なります。これは、救急車が近づくとサイレンが高く聞こえる、という実感とも一致しますね。

観測者だけが動く場合

次に、音源は静止していて、観測者だけが速さ $v_o$(正の向きを基準とした符号付きの速さ)で動いている場合を考えます。

音源が静止しているので、送り出される音の波長は変化せず、もとの $\lambda = \dfrac{V}{f}$ のままです。変わるのは、観測者から見て、波の山が自分を通り過ぎていく相対的な速さです。

観測者が正の向き(音源から遠ざかる向き)に動くと、波が観測者に追いつく速さは、波そのものの速さ $V$ から観測者の速さ $v_o$ を引いた分だけ遅くなります。逆に観測者が負の向き(音源に近づく向き)に動く場合は、$v_o$ が負の値になるため、$V-v_o$ は $V$ より大きくなり、波が観測者に届く相対的な速さは速くなります。つまり、観測者から見た波の相対的な速さは、どちらの場合も

$V - v_o$

と表せます。振動数は「速さ ÷ 波長」で求められるので、

$f' = \frac{V-v_o}{\lambda} = \frac{V-v_o}{V/f} = (V-v_o)\times\frac{f}{V} = \frac{V-v_o}{V}f$

観測者が近づく場合は $v_o$ が負の値になるので、$V-v_o$ が $V$ より大きくなり、$f'$ は $f$ より大きく(高い音に)なります。これも、近づいていく側から見れば音が高く聞こえる、という直感と一致します。

一般式(音源・観測者の両方が動く場合)

音源が動くことで波長が $\lambda'=\dfrac{V-v_s}{f}$ に変化し、さらに観測者が動くことで、その波を相対的な速さ $V-v_o$ で受け取ることになるので、この2つを組み合わせると、

$f' = \frac{V-v_o}{\lambda'} = \frac{V-v_o}{(V-v_s)/f} = \frac{V-v_o}{V-v_s}f$

これが、音源と観測者の両方が動く場合のドップラー効果の一般式です。

$f' = \frac{V-v_o}{V-v_s}f$

この式を使うときは、必ず「音源から観測者へ向かう向きを正」と決めたうえで、$v_s$(音源の速度)と $v_o$(観測者の速度)の符号を、図をかいて確認してから代入するようにしましょう。

シミュレーションで確認する

下のシミュレーションは、動く音源から広がる音の波面(波の山にあたる面)を、円として表したものです。音源の速さ $v_s$ をスライダーで変えると、音源の進む向き側では波面の間隔が狭く(波長が短く)なり、反対側では間隔が広く(波長が長く)なる様子が見えます。なお、このシミュレーションは音速や音源の速さを見やすいように縮小した模型で、実際の $340\,\text{m/s}$ という速さそのものを表しているわけではありません。大切なのは、音源の速さと音の伝わる速さの比 $v_s\div V$ が大きいほど、波面の間隔の差(圧縮の度合い)が大きくなる、という関係です。

例題

例題1(基本)

問題 静止している観測者に向かって、音源が秒速 $20\,\text{m/s}$ で近づきながら、振動数 $480\,\text{Hz}$ の音を出しています。音速を $340\,\text{m/s}$ として、観測者が聞く音の振動数を求めなさい。

解答・解説を見る

観測者は静止しているので、音源だけが動く場合の式を使います。

$f' = \frac{V}{V-v_s}f$

「音源から観測者へ向かう向き」を正とすると、音源は観測者に近づく向き、つまり正の向きに動いているので $v_s=+20\,\text{m/s}$ です。$V=340\,\text{m/s}$、$f=480\,\text{Hz}$ を代入します。

$f' = \frac{340}{340-20}\times480 = \frac{340}{320}\times480$

$\dfrac{340}{320}\times480 = \dfrac{340\times480}{320} = \dfrac{163200}{320} = 510$

したがって、観測者が聞く音の振動数は $510\,\text{Hz}$ です。もとの $480\,\text{Hz}$ より高くなっており、「近づく音源の音は高く聞こえる」という性質と一致しています。

例題2(標準)

問題 振動数 $600\,\text{Hz}$ の音を出している音源が静止しています。この音源に向かって、観測者が秒速 $17\,\text{m/s}$ で近づいています。音速を $340\,\text{m/s}$ として、観測者が聞く音の振動数を求めなさい。

解答・解説を見る

音源は静止しているので、観測者だけが動く場合の式を使います。

$f' = \frac{V-v_o}{V}f$

「音源から観測者へ向かう向き」を正とすると、観測者は音源に近づく向き、つまり正の向きとは逆向きに動いているので、$v_o=-17\,\text{m/s}$ です(符号がマイナスになることに注意しましょう)。$V=340\,\text{m/s}$、$f=600\,\text{Hz}$ を代入します。

$f' = \frac{340-(-17)}{340}\times600 = \frac{340+17}{340}\times600 = \frac{357}{340}\times600$

$\dfrac{357}{340}\times600 = \dfrac{357\times600}{340} = \dfrac{214200}{340} = 630$

したがって、観測者が聞く音の振動数は $630\,\text{Hz}$ です。観測者が音源に近づいているので、もとの $600\,\text{Hz}$ より高い音に聞こえており、これも直感と一致しています。

例題3(応用)

問題 振動数 $350\,\text{Hz}$ の音を出す音源が、観測者に向かって秒速 $40\,\text{m/s}$ で近づいています。同時に、観測者も音源に向かって秒速 $20\,\text{m/s}$ で近づいています。音速を $340\,\text{m/s}$として、観測者が聞く音の振動数を求めなさい。

解答・解説を見る

音源・観測者の両方が動いているので、一般式を使います。

$f' = \frac{V-v_o}{V-v_s}f$

「音源から観測者へ向かう向き」を正として、それぞれの速度の符号を確認しましょう。

音源は観測者に近づく向き(正の向き)に動いているので $v_s=+40\,\text{m/s}$ です。

観測者は音源に近づく向き(正の向きとは逆向き)に動いているので $v_o=-20\,\text{m/s}$ です。

$V=340\,\text{m/s}$、$f=350\,\text{Hz}$ とあわせて代入します。

$f' = \frac{340-(-20)}{340-40}\times350 = \frac{360}{300}\times350$

$\dfrac{360}{300}=1.2$ なので、

$f' = 1.2\times350 = 420$

したがって、観測者が聞く音の振動数は $420\,\text{Hz}$ です。音源・観測者の両方が近づき合っているため、もとの $350\,\text{Hz}$ よりもかなり高い音に聞こえていることが分かります。

練習問題

問題 振動数 $630\,\text{Hz}$ の音を出す音源が、静止している観測者から遠ざかりながら秒速 $20\,\text{m/s}$ で進んでいます。音速を $340\,\text{m/s}$として、観測者が聞く音の振動数を求めなさい。

答え

音源が観測者から遠ざかる向きに動いているので、「音源から観測者へ向かう向き」を正とすると $v_s=-20\,\text{m/s}$ です。

$f' = \frac{V}{V-v_s}f = \frac{340}{340-(-20)}\times630 = \frac{340}{360}\times630 = 595\,\text{Hz}$

もとの $630\,\text{Hz}$ より低くなっており、遠ざかる音源の音が低く聞こえるという性質と一致します。