断熱変化とサイクル

要点整理

断熱変化:熱の出入りがない変化

外部との熱のやり取りが一切ない変化を断熱変化と呼びます。断熱変化では、定義により、

$Q = 0$

です。これを熱力学第一法則 $\Delta U = Q + W$ に代入すると、

$\Delta U = W$

という、とても単純な形になります。つまり断熱変化では、内部エネルギーの変化は、すべて外部からされた仕事(またはした仕事)によって生じます。

• 気体を断熱的に圧縮すると、外部から正の仕事をされる($W>0$)ので、$\Delta U > 0$、つまり温度が上がります。
• 気体を断熱的に膨張させると、気体が外部に仕事をする($W<0$)ので、$\Delta U < 0$、つまり温度が下がります。

自転車の空気入れを勢いよく押すと熱くなるのは、空気が急激に(=熱が逃げる間もなく、ほぼ断熱的に)圧縮されて温度が上がるためです。逆に、スプレー缶を使うと缶が冷たくなるのは、中の気体が噴き出すときに急激に膨張し、断熱的に温度が下がるためです。

なお、断熱変化での圧力と体積の関係は、

$pV^{\gamma} = 一定$

という式に従うことが知られています($\gamma$は気体の種類によって決まる定数で、比熱比と呼ばれ、単原子分子気体では$\gamma = \dfrac{5}{3}$です)。この式は、p-V図の上で、断熱変化の曲線が、同じ温度どうしを結ぶ曲線(ボイルの法則にしたがう$pV=一定$の曲線)よりも急な傾きで下がっていくことを意味します。この式を使った計算は発展的な内容なので、まずは「断熱変化では$Q=0$、したがって$\Delta U = W$」という基本をしっかり押さえておきましょう。

サイクル(循環変化)

いくつかの変化を経て、気体が最終的にもとの状態(圧力・体積・温度がすべてもとの値)に戻る一連の変化を、サイクル(循環変化)と呼びます。

内部エネルギー$U$は、気体の状態(特に温度)だけで決まる量でした。サイクルの終わりには、気体は最初と同じ状態に戻っているので、温度ももとの値に戻っています。したがって、

$\Delta U = 0 \quad (1周後)$

が成り立ちます。これを熱力学第一法則に代入すると、

$0 = Q_{net} + W_{net}$

ここで$Q_{net}$は1周の間に気体が吸収した熱量の合計(正味の値)、$W_{net}$は1周の間に気体が外部からされた仕事の合計です。この式を変形すると、

$Q_{net} = -W_{net} = W_{by,net}$

($W_{by,net}$は1周の間に気体が外部にした仕事の合計)となります。つまり、サイクル1周の間に気体が正味で吸収した熱量は、その間に気体が正味でした仕事に等しいということです。これは、外から熱を受け取って、それを仕事として取り出す「熱機関」の基本原理そのものであり、次のページで詳しく学びます。

p-V図の面積が仕事を表す

定圧変化での仕事は$W_{by}=p\Delta V$でした。これは、p-V図の上で、圧力$p$の水平な線分の下側にできる長方形の面積(高さ$p$、幅$\Delta V$)に等しいことに気づくでしょう。実は、圧力が変化する場合を含め、一般にp-V図の経路の下側の面積が、その変化で気体がした仕事を表します。

例として、次のような長方形のサイクルを考えてみましょう。状態A$(V_1, p_1)$→状態B$(V_2, p_1)$(定圧膨張)→状態C$(V_2, p_2)$(定積変化)→状態D$(V_1, p_2)$(定圧圧縮)→状態A(定積変化)、という順に一周する場合です($p_1 > p_2$、$V_2 > V_1$とします)。

• A→B(定圧膨張):気体がした仕事は $p_1(V_2-V_1)$(正)
• B→C(定積変化):仕事は$0$
• C→D(定圧圧縮):気体がした仕事は $p_2(V_1-V_2) = -p_2(V_2-V_1)$(負)
• D→A(定積変化):仕事は$0$

1周でした仕事の合計は、

$p_1(V_2-V_1) - p_2(V_2-V_1) = (p_1-p_2)(V_2-V_1)$

これは、ちょうど長方形の面積(縦$p_1-p_2$、横$V_2-V_1$)に等しくなります。このように、状態点が p-V図を時計回りに一周すると、気体は正味で正の仕事を外部にすることになります(反時計回りだと逆に、正味で仕事をされることになります)。

下のシミュレーションで、状態点が実際にp-V図を一周する様子を見てみましょう。

赤い点が、長方形の経路を時計回りに一周する様子を表しています。この点が1周する間に、気体は正味で仕事を外部にしたことになり、その大きさは長方形の面積に等しくなります。

例題

例題1(基本)

問題

気体を断熱的に圧縮したところ、外部から $120\ \mathrm{J}$ の仕事をされた。この間の内部エネルギーの変化$\Delta U$を求めよ。また、気体の温度は上がるか、下がるか答えよ。

解答・解説を見る

断熱変化なので $Q=0$ であり、$\Delta U = W$ が成り立ちます。外部から仕事をされたので $W = +120\ \mathrm{J}$ です。

$\Delta U = W = 120\ \mathrm{J}$

答え:$\Delta U = 120\ \mathrm{J}$、温度は上がる

内部エネルギーが増加したということは、気体分子の熱運動が激しくなったということなので、温度は上昇します。

例題2(標準)

問題

$1.0\ \mathrm{mol}$ の単原子分子理想気体が断熱的に膨張し、外部に $124.5\ \mathrm{J}$ の仕事をした。気体の温度は何 $\mathrm{K}$ 下がるか。気体定数は $R = 8.3\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ とする。

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仕事の符号を確認する

気体が外部にした仕事が$124.5\ \mathrm{J}$なので、「気体が外部からされた仕事」で考えると、

$W = -124.5\ \mathrm{J}$

内部エネルギーの変化を求める

断熱変化なので $Q=0$、よって $\Delta U = W = -124.5\ \mathrm{J}$ です。

温度変化を求める

単原子分子理想気体では $\Delta U = \dfrac{3}{2}nR\Delta T$ なので、この式を$\Delta T$について解きます。

$\Delta T = \frac{\Delta U}{\dfrac{3}{2}nR} = \frac{-124.5}{\dfrac{3}{2}\times1.0\times8.3}$

分母を計算すると $\dfrac{3}{2}\times8.3 = 12.45$ なので、

$\Delta T = \frac{-124.5}{12.45} = -10\ \mathrm{K}$

答え:温度は $10\ \mathrm{K}$ 下がる

例題3(応用)

問題

要点整理で説明した長方形のサイクル(A→B→C→D→Aと時計回りに一周する)において、$p_1 = 3.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$、$p_2 = 1.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$、$V_1 = 2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$、$V_2 = 5.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ とする。1周の間に気体が外部にする正味の仕事$W_{by,net}$を求めよ。また、この1周の間に気体が正味で吸収した熱量は正か負か答えよ。

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仕事を求める

要点整理で導いた式 $W_{by,net} = (p_1-p_2)(V_2-V_1)$ を使います。

$p_1 - p_2 = 3.0\times10^{5} - 1.0\times10^{5} = 2.0\times10^{5}$

$V_2 - V_1 = 5.0\times10^{-3} - 2.0\times10^{-3} = 3.0\times10^{-3}$

したがって、

$W_{by,net} = 2.0\times10^{5}\times 3.0\times10^{-3} = 6.0\times10^{2} = 600\ \mathrm{J}$

熱量の正負を判定する

サイクル1周では$\Delta U = 0$なので、$Q_{net} = W_{by,net}$が成り立ちます。$W_{by,net} = 600\ \mathrm{J} > 0$なので、

$Q_{net} = 600\ \mathrm{J} > 0$

答え:$W_{by,net} = 600\ \mathrm{J}$、正味で吸収した熱量は正(気体は正味で熱を吸収している)

気体が時計回りに一周して正味の仕事を外部にした分、外部からは同じ量の熱を正味で受け取っている必要があります。これはエネルギー保存の法則そのものであり、次のページで学ぶ「熱機関」のしくみの土台になります。

練習問題

問題

断熱変化で、$2.0\ \mathrm{mol}$ の単原子分子理想気体の温度が $10\ \mathrm{K}$ 上昇した。この間に気体が外部からされた仕事$W$を求めよ。気体定数は $R = 8.3\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ とする。

答え

断熱変化なので $\Delta U = W$。$\Delta U = \dfrac{3}{2}nR\Delta T = \dfrac{3}{2}\times2.0\times8.3\times10 = 249\ \mathrm{J}$ なので、$W = 249\ \mathrm{J}$