物理 / 様々な運動
剛体にはたらく力のつり合い
要点整理
物理基礎では、物体を大きさのない1つの点(質点)とみなして力のつり合いを考えてきました。質点として扱う場合、物体にはたらく力をすべて1点に集めて合成し、その合力が0であれば物体は静止したまま動きません。
しかし、実際の物体には大きさがあります。たとえば、細長い棒の両端に別々の力を加えたとき、力の合計(合力)が0であっても、棒がその場でくるくると回転してしまうことがあります。このような、大きさをもち、力を加えても変形しないと考える物体のことを剛体と呼びます。剛体の運動やつり合いを考えるときは、質点のときとは違う注意が必要です。
剛体に起こりうる2種類の動き
剛体に力を加えたとき、起こりうる動きは大きく分けて2種類あります。
- 並進運動:物体全体が向きを変えずに平行移動する動き。
- 回転運動:物体がある点(または軸)のまわりに回る動き。
質点の力のつり合いで考えていたのは、このうちの並進運動に関する条件だけでした。剛体がまったく動かない(静止し続ける)ためには、並進運動が起こらないことに加えて、回転運動も起こらないことが必要です。
剛体のつり合いの2つの条件
剛体が静止し続けるためには、次の2つの条件が同時に満たされる必要があります。
条件1:並進のつり合い(力のつり合い)
物体にはたらくすべての力のベクトル和が0であること。
$\sum \vec{F} = 0$
これは物理基礎で学んだ「力のつり合い」と全く同じ条件です。力をx成分とy成分に分けて考える場合は、
$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0$
の2つの式として使います。この条件だけでは、物体が平行移動しないことしか保証できません。
条件2:回転のつり合い(モーメントのつり合い)
物体を回転させようとするはたらきの合計が0であること。
$\sum M = 0$
ここで $M$ は力のモーメントと呼ばれる量で、力が物体をどれだけ強く回転させようとするかを表します。力のモーメントの具体的な求め方や、どの点のまわりのモーメントを考えるかについては、次のセクションで詳しく学びます。ここでは、「力の合計が0であっても、回転させようとするはたらきの合計が0でなければ、物体は回転を始めてしまう」ということをまず理解してください。
具体的なイメージ:棒の両端を押す
たとえば、水平に置かれた棒の右端を上向きに、左端を下向きに、同じ大きさの力で押したとします。この2つの力は向きが反対で大きさが同じなので、力のベクトル和(合力)はちょうど0になり、条件1(並進のつり合い)は満たされます。
しかし、この2つの力は棒を同じ向き(たとえば時計回り)に回転させようとするはたらきをもっています。右端を上に、左端を下に押せば、棒は時計回りに回転を始めてしまいます。つまり、条件1は満たされていても条件2は満たされておらず、剛体全体としてはつり合っていない、ということになります。
この例からわかるように、剛体のつり合いを考えるときは、力のつり合いだけでなく、必ずモーメントのつり合いも確認する必要があります。この2つの条件をセットで使うことが、この先の剛体の問題を解くうえでの基本方針になります。
例題
例題1(基本)
問題
質点(大きさのない点)にはたらく力のつり合いと、剛体(大きさのある物体)にはたらく力のつり合いとでは、考えなければならない条件がどのように違うか説明しなさい。
解答・解説を見る
質点の場合は、物体にはたらくすべての力のベクトル和が0であること($\sum\vec{F}=0$)、つまり並進のつり合いの条件だけを考えればつり合いを判定できます。質点には大きさがないため、そもそも「回転する」という動きを考える必要がないからです。
一方、剛体の場合は大きさがあるため、力の合計が0であっても物体が回転してしまう可能性があります。そのため、並進のつり合いの条件 $\sum\vec{F}=0$ に加えて、回転のつり合いの条件 $\sum M=0$(物体を回転させようとするはたらきの合計が0であること)も同時に満たされている必要があります。つまり、剛体のつり合いを考えるときは、2つの条件をどちらも確認しなければならないという点が、質点の場合との大きな違いです。
例題2(標準)
問題
水平な棒の右端に上向きの力 $F_1=10$ N、左端に下向きの力 $F_2=10$ N を加えました。力のベクトル和(合力)を求め、この棒が静止したままでいられるかどうかを、力のつり合いの観点だけから判断してよいか答えなさい。
解答・解説を見る
上向きを正とすると、右端の力は $+10$ N、左端の力は $-10$ N です。力のベクトル和は、
$F_1 + F_2 = 10 + (-10) = 0 \text{ N}$
となり、力のつり合いの条件 $\sum \vec{F}=0$ は満たされています。
しかし、これだけで「棒が静止したままでいられる」と判断することはできません。なぜなら、この棒は剛体であり、剛体が静止し続けるためには並進のつり合いに加えて回転のつり合い($\sum M=0$)も必要だからです。この問題では、右端を上向き、左端を下向きに押しているため、棒を回転させようとするはたらき(モーメント)は互いに打ち消し合わず、同じ向き(たとえば時計回り)に働いてしまいます。したがって、力のつり合いだけを根拠に「棒は静止したままでいられる」と結論づけることはできず、実際にはこの棒は回転を始めてしまいます。
例題3(応用)
問題
天井から水平に張られた1本の棒があり、棒の両端がそれぞれ別のひもで天井に吊るされているとします(棒には重力もはたらきます)。この棒が静止し続けるために必要な条件を、剛体のつり合いの2つの条件を用いて説明しなさい。
解答・解説を見る
この棒には、重力(棒の重心にはたらく下向きの力)と、2本のひもの張力(それぞれ上向きに近い力)がはたらいています。棒が静止し続けるためには、次の2つの条件が同時に満たされる必要があります。
条件1(並進のつり合い):棒にはたらく重力と2本のひもの張力を合わせたベクトル和が0であること。これにより、棒全体が上下左右のどちらにも移動しないことが保証されます。
条件2(回転のつり合い):重力と2本の張力が、棒を回転させようとするはたらき(モーメント)の合計が0であること。もし2本のひもの張力の大きさが、重心の位置に対してつり合いのとれた比率になっていなければ、棒はどちらか一方に傾いて回転を始めてしまいます。
このように、棒のような大きさをもつ物体を糸で吊るす問題では、力の大きさの関係(条件1)と、力がはたらく位置の関係(条件2)の両方を考える必要があります。位置関係を数値として扱う具体的な方法(モーメントの計算)は、次のセクションで学びます。
練習問題
問題
「剛体にはたらく力のベクトル和が0であれば、その剛体は必ず静止したままでいられる」という主張は正しいか、誤っているか。誤っている場合は、その理由も簡潔に述べなさい。
答え
誤っている。力のベクトル和が0であること(並進のつり合い)は、剛体が静止し続けるための条件の1つに過ぎない。それに加えて、回転のつり合い($\sum M=0$)も満たされていなければ、剛体は回転を始めてしまう可能性がある。