正弦波の式

要点整理

物理基礎では、波の振幅・周期・波長・振動数を、グラフや図を使って説明してきました。ここでは、それらをまとめて1つの数式で表す「正弦波の式」を学びます。この式を使うと、位置 $x$ と時刻 $t$ を指定するだけで、そこでの波の変位 $y$ が計算できるようになります。

式をゼロから組み立てる

まず、位置 $x=0$ の点だけに注目します。この点は、時間とともに単振動(同じ動きを周期的に繰り返す運動)をしています。振幅を $A$、周期を $T$ とすると、$x=0$ での変位は次のように書けます。

$y(0, t) = A\sin\left(2\pi \frac{t}{T}\right)$

$t=0$ のとき $y=0$ から動き始め、$t=T$(1周期後)には $\sin(2\pi)=0$ に戻ってくる式になっています。$\dfrac{t}{T}$ は「今、何周期分の時間が経過したか」を表す量なので、それに $2\pi$ をかけることで角度(位相)に変換しています。

次に、位置 $x$($x>0$)の点を考えます。波が速さ $v$ で $+x$ 方向に進んでいるとすると、$x=0$ で起きた振動と全く同じ振動が、少し時間が遅れて位置 $x$ に伝わってきます。その遅れの時間は、

$\text{遅れの時間} = \frac{x}{v}$

です(距離 $\div$ 速さ)。ここで、波の基本式 $v = \dfrac{\lambda}{T}$(物理基礎で学んだ「波長 $\div$ 周期」)を代入すると、

$\text{遅れの時間} = \frac{x}{\lambda / T} = \frac{xT}{\lambda}$

となります。位置 $x$ での振動は、位置 $0$ での振動を時間だけこの分だけ遅らせたものなので、

$y(x,t) = y(0,\ t - \frac{xT}{\lambda}) = A\sin\left(2\pi \cdot \frac{t-\frac{xT}{\lambda}}{T}\right)$

括弧の中を1ステップずつ整理します。

$\frac{t-\frac{xT}{\lambda}}{T} = \frac{t}{T} - \frac{1}{T}\cdot\frac{xT}{\lambda} = \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}$

したがって、

$y = A\sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\right)$

という「正弦波の式」が得られます。この式は、$+x$ 方向に進む波を表しています(もし $-x$ 方向に進む波なら、$\dfrac{x}{\lambda}$ の符号がプラスになります)。

式の読み方

この式は、2通りの見方ができます。

• 時刻 $t$ を変数として見る(位置 $x$ を1つ固定する):その場所の点が、周期 $T$、振幅 $A$ の単振動をしている様子がわかります。
• 位置 $x$ を変数として見る(時刻 $t$ を1つ固定する):その瞬間の波の形(スナップショット)が、波長 $\lambda$ の正弦曲線になっている様子がわかります。

コンパクトな書き方

$\sin$ の中を展開すると、

$2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) = \frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x$

となります。ここで $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$(角振動数)、$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$(波数)とおくと、正弦波の式は

$y = A\sin(\omega t - kx)$

というコンパクトな形でも書けます。教科書によってはこちらの形で登場することもあるので、両方の書き方に慣れておきましょう。

下のシミュレーションで、振幅 $A$・周期 $T$・波長 $\lambda$ を変えながら、波の形と、1点(赤い点)の振動のようすを確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

振幅 $A=0.5\ \mathrm{m}$、周期 $T=2\ \mathrm{s}$、波長 $\lambda=4\ \mathrm{m}$ の正弦波が $+x$ 方向に進んでいる。$x=1\ \mathrm{m}$、$t=1\ \mathrm{s}$ における変位 $y$ を求めよ。

解答・解説を見る

正弦波の式 $y = A\sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)\right)$ に、$A=0.5$、$T=2$、$\lambda=4$、$t=1$、$x=1$ を代入します。

まず $\sin$ の中の角度を計算します。

$2\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) = 2\pi\times\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$y = 0.5\times\sin\frac{\pi}{2} = 0.5\times 1 = 0.5\ \mathrm{m}$

答え:$y=0.5\ \mathrm{m}$(ちょうど山の位置)

例題2(標準)

問題

ある正弦波が $y = 0.1\sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{4}-\dfrac{x}{8}\right)\right)$(単位はSI単位系)で表される。(1)振幅・周期・波長を読み取れ。(2)この波が伝わる速さ $v$ を求めよ。(3)$x=4\ \mathrm{m}$、$t=1\ \mathrm{s}$ における変位を求めよ。

解答・解説を見る

(1) 式を $y=A\sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)\right)$ と見比べると、

$A = 0.1\ \mathrm{m},\quad T=4\ \mathrm{s},\quad \lambda = 8\ \mathrm{m}$

(2) 波の速さは $v=\dfrac{\lambda}{T}$ で求められるので、

$v = \frac{8}{4} = 2\ \mathrm{m/s}$

(3) $\sin$ の中の角度を計算します。

$2\pi\left(\frac{1}{4}-\frac{4}{8}\right) = 2\pi\left(0.25-0.5\right) = 2\pi\times(-0.25) = -\frac{\pi}{2}$

したがって、

$y = 0.1\times\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0.1\times(-1) = -0.1\ \mathrm{m}$

答え:(1) $A=0.1\ \mathrm{m}$、$T=4\ \mathrm{s}$、$\lambda=8\ \mathrm{m}$ (2) $v=2\ \mathrm{m/s}$ (3) $y=-0.1\ \mathrm{m}$(谷の位置)

例題3(応用)

問題

振幅 $A=0.2\ \mathrm{m}$、周期 $T=0.5\ \mathrm{s}$ の正弦波が伝わっている。媒質の各点は、波源と同じ単振動をする。このとき、媒質の点が変位0の位置を通過するときの速さ(媒質の上下方向の最大の速さ)を求めよ。

解答・解説を見る

波が伝わるとき、媒質の各点は左右(進行方向)には動かず、その場で上下に単振動をします。振幅 $A$、周期 $T$ の単振動をする点の角振動数は、

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

単振動では、変位が0の位置(つり合いの位置)を通過するときに速さが最大になり、その最大の速さは

$v_{\text{max}} = A\omega$

で表されることが知られています(円運動の正射影として単振動を考えたときの、円運動の速さに対応します)。

数値を代入します。まず角振動数を求めると、

$\omega = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi\ \mathrm{rad/s}$

これを使って、

$v_{\text{max}} = 0.2\times 4\pi = 0.8\pi \approx 2.5\ \mathrm{m/s}$

答え:およそ $2.5\ \mathrm{m/s}$($0.8\pi\ \mathrm{m/s}$)

練習問題

問題

正弦波が $y=0.3\sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{2}-\dfrac{x}{6}\right)\right)$(単位はSI単位系)で表される。振幅・周期・波長・伝わる速さを求め、$x=1.5\ \mathrm{m}$、$t=1\ \mathrm{s}$ における変位を求めよ。

答え

$A=0.3\ \mathrm{m}$、$T=2\ \mathrm{s}$、$\lambda=6\ \mathrm{m}$、$v=\lambda/T=3\ \mathrm{m/s}$。

$x=1.5$、$t=1$ のとき、$2\pi\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1.5}{6}\right)=2\pi\times 0.25=\dfrac{\pi}{2}$ なので、$y=0.3\ \mathrm{m}$。