水平投射の基礎

要点整理

高いところからボールを水平方向に投げ出すと、ボールはまっすぐ前には進まず、だんだん下向きに曲がりながら落ちていきます。この運動を水平投射と呼びます。

水平方向と鉛直方向を分けて考える

水平投射を理解するための一番大切な考え方は、「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」を、それぞれ別のものとして分けて考えるということです。これを運動の独立性と呼びます。

• 水平方向:ボールには、水平方向に力ははたらいていません(重力は真下にしかはたらきません)。したがって、水平方向の速度は変化せず、等速直線運動になります。投げ出したときの水平方向の速さを $v_0$ とすると、投げ出してから時刻 $t$ までに水平方向に進む距離 $x$ は、

$x = v_0 t$

• 鉛直方向:ボールを投げ出した瞬間、鉛直方向の初速度は $0$ です。あとは重力だけがはたらくので、これは前に学んだ自由落下とまったく同じ運動になります。投げ出した点を基準にした落下距離 $y$ と、鉛直方向の速度 $v_y$ は、

$y = \frac{1}{2}gt^2, \qquad v_y = gt$

大切なのは、水平方向の運動が鉛直方向の運動にまったく影響を与えず、鉛直方向の運動も水平方向の運動にまったく影響を与えない、という点です。ボールは横に飛びながら、同時に真下に自由落下しているボールとまったく同じ速さで落ちていきます。

軌道の形

時刻 $t$ における位置 $(x, y)$ から $t$ を消去すると、ボールが実際に描く軌道の形がわかります。$x=v_0t$ より $t=\dfrac{x}{v_0}$ なので、これを $y=\dfrac{1}{2}gt^2$ に代入すると、

$y = \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = \frac{g}{2v_0^2}x^2$

これは $x$ の2次式なので、水平投射の軌道は放物線を描くことがわかります。

落下時間と速さ

高さ $h_0$ の位置から水平投射した場合、地面に達する($y=h_0$ になる)までの時間 $t$ は、$y=\dfrac{1}{2}gt^2$ に $y=h_0$ を代入して、

$t = \sqrt{\frac{2h_0}{g}}$

で求められます。このとき、水平方向にはこの時間ずっと $v_0$ で進み続けるので、地面に落ちるまでに水平方向に進む距離(到達距離)は $x=v_0 t$ で求められます。

また、着地する瞬間の速度は、水平方向の速度成分 $v_x=v_0$ と、鉛直方向の速度成分 $v_y=gt$ を持つベクトルであり、その速さ(大きさ)は三平方の定理を使って、

$v = \sqrt{v_x^2+v_y^2}$

で求められます。

下のシミュレーションで、初速度と投げ出す高さを変えながら、ボールが描く軌道を確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

高さ $19.6\ \mathrm{m}$ のビルの屋上から、ボールを水平方向に $10\ \mathrm{m/s}$ の速さで投げ出した。ボールが地面に達するまでの時間、水平方向に進んだ距離、および着地する瞬間の速さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

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地面に達するまでの時間

鉛直方向の運動は自由落下と同じなので、$y=\dfrac{1}{2}gt^2$ に $y=19.6$、$g=9.8$ を代入します。

$19.6 = \frac{1}{2}\times 9.8\times t^2$

$19.6 = 4.9t^2$

$t^2 = 4$

$t = 2\ \mathrm{s}$

水平方向に進んだ距離

水平方向は等速なので、$x=v_0t$ に $v_0=10$、$t=2$ を代入します。

$x = 10\times 2 = 20\ \mathrm{m}$

着地する瞬間の速さ

鉛直方向の速度は $v_y=gt=9.8\times 2=19.6\ \mathrm{m/s}$ です。水平方向の速度は $v_x=v_0=10\ \mathrm{m/s}$ のまま変化していません。速さは、

$v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{10^2+19.6^2} = \sqrt{100+384.16} = \sqrt{484.16} \approx 22.0\ \mathrm{m/s}$

答え:落下時間 $2\ \mathrm{s}$、水平距離 $20\ \mathrm{m}$、着地の速さ 約 $22.0\ \mathrm{m/s}$

例題2(標準)

問題

高さ $44.1\ \mathrm{m}$ の崖の上から石を水平投射したところ、崖の下の地面の、真下から $36\ \mathrm{m}$ 離れた地点に落下した。投げ出したときの速さと、着地する瞬間の速さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

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落下時間

$y=\dfrac{1}{2}gt^2$ に $y=44.1$ を代入します。

$44.1 = 4.9t^2$

$t^2 = 9$

$t = 3\ \mathrm{s}$

投げ出したときの速さ

水平方向の式 $x=v_0t$ に $x=36$、$t=3$ を代入します。

$36 = v_0\times 3$

$v_0 = 12\ \mathrm{m/s}$

着地する瞬間の速さ

$v_y=gt=9.8\times 3=29.4\ \mathrm{m/s}$、$v_x=v_0=12\ \mathrm{m/s}$ なので、

$v=\sqrt{12^2+29.4^2}=\sqrt{144+864.36}=\sqrt{1008.36}\approx 31.8\ \mathrm{m/s}$

答え:投げ出したときの速さ $12\ \mathrm{m/s}$、着地する瞬間の速さ 約 $31.8\ \mathrm{m/s}$

例題3(応用)

問題

ある高さから物体を水平方向に $15\ \mathrm{m/s}$ の速さで投げ出したところ、地面に達する瞬間、速度の向きが水平から $60°$ 傾いていた。投げ出した高さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$、$\tan 60°=\sqrt{3}\approx 1.73$ とする。

解答・解説を見る

着地の瞬間、水平方向の速度は $v_x=15\ \mathrm{m/s}$ のままです。速度の向きが水平から $60°$ 傾いているので、鉛直方向の速度 $v_y$ との間には、

$\tan 60° = \frac{v_y}{v_x}$

という関係があります。これを $v_y$ について解くと、

$v_y = v_x\tan 60° = 15\times 1.73 = 25.95\ \mathrm{m/s}$

次に、$v_y=gt$ を使って落下時間を求めます。

$t = \frac{v_y}{g} = \frac{25.95}{9.8} \approx 2.65\ \mathrm{s}$

最後に、$y=\dfrac{1}{2}gt^2$ に $t\approx 2.65$ を代入して、投げ出した高さを求めます。

$y = \frac{1}{2}\times 9.8\times 2.65^2 \approx 4.9\times 7.02 \approx 34.4\ \mathrm{m}$

答え:投げ出した高さは約 $34.4\ \mathrm{m}$

練習問題

問題

高さ $78.4\ \mathrm{m}$ の塔の上から、物体を水平方向に $20\ \mathrm{m/s}$ の速さで投げ出した。地面に達するまでの時間と、水平方向に進んだ距離を求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

答え

落下時間:$78.4=4.9t^2$ より $t^2=16$、$t=4\ \mathrm{s}$

水平距離:$x=20\times 4=80\ \mathrm{m}$