運動量と力積

要点整理

物理基礎では、物体の運動状態の変化を運動方程式 $ma=F$ を使って調べてきました。ここでは、運動方程式を「時間」という視点から見直し、運動量と力積という新しい量を導入します。これらの量は、特に次のセクションで学ぶ衝突の問題を考えるときに非常に強力な道具になります。

運動量とは

質量 $m$、速度 $\vec{v}$ で運動している物体の運動量 $\vec{p}$ は、次の式で定義されます。

$\vec{p} = m\vec{v}$

運動量は、速度と同じ向きをもつベクトル量です。同じ速さで走っていても、トラックのように質量が大きい物体は、自転車のように質量が小さい物体よりも「止まりにくい」「動かしにくい」感じがします。運動量は、この「運動の勢い」を質量と速度の両方を使って表した量だと考えるとよいでしょう。運動量の単位は、kg・m/s(質量の単位と速度の単位の積)です。

力積とは

一定の力 $\vec{F}$ が、時間 $\Delta t$ の間はたらき続けたとき、この力と時間の積を力積 $\vec{I}$ と呼びます。

$\vec{I} = \vec{F}\Delta t$

力積も、力と同じ向きをもつベクトル量です。単位は、力の単位N(ニュートン)と時間の単位s(秒)の積なので、N・s(ニュートン秒)になります。力積は、「同じ力でも、長い時間はたらき続けるほど、物体に与える影響が大きくなる」という考え方を表した量です。

力積と運動量の変化の関係

ここで、運動方程式 $ma=F$ から出発して、力積と運動量がどのように結びついているかを見てみましょう。物体に一定の力 $\vec{F}$ が時間 $\Delta t$ の間はたらき、その結果、速度が $\vec{v}$ から $\vec{v}\,'$ に変化したとします。

加速度は速度の変化を時間で割ったものなので、

$\vec{a} = \frac{\vec{v}\,' - \vec{v}}{\Delta t}$

これを運動方程式 $m\vec{a}=\vec{F}$ に代入すると、

$m \cdot \frac{\vec{v}\,' - \vec{v}}{\Delta t} = \vec{F}$

両辺に $\Delta t$ を掛けると、

$m(\vec{v}\,' - \vec{v}) = \vec{F}\Delta t$

左辺を展開すると $m\vec{v}\,' - m\vec{v}$ となり、これは「変化後の運動量」から「変化前の運動量」を引いたもの、つまり運動量の変化量 $\Delta \vec{p}$ そのものです。右辺は力積 $\vec{I}=\vec{F}\Delta t$ です。したがって、

$\vec{F}\Delta t = m\vec{v}\,' - m\vec{v} = \Delta \vec{p}$

という関係が得られます。これを言葉で表すと、

$(\text{物体が受けた力積}) = (\text{物体の運動量の変化})$

となります。この関係を力積と運動量の関係(または「運動量と力積の定理」)と呼びます。この式は運動方程式と同じ内容を表していますが、「力がはたらいた時間」に注目することで、力の大きさが刻一刻と変化するような場合(たとえば、バットでボールを打つ瞬間のように、力が短時間で複雑に変化する場合)でも、力積さえわかれば運動量の変化を求められる、という利点があります。

x成分だけで考えると、この関係は次のように書けます。

$F\Delta t = mv' - mv$

下のシミュレーションでは、質量 $m$ の物体に一定の力 $F$ を加え続けたときに、運動量がどのように変化していくかを確認できます。力積 $F\times t$ と、そのときまでの運動量の変化が常に一致していることに注目してください。

例題

例題1(基本)

問題

質量2.0 kgの物体が、速さ3.0 m/sで運動しています。この物体の運動量の大きさを求めなさい。

解答・解説を見る

運動量の定義 $p=mv$ を使います。

$p = mv = 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ kg·m/s}$

したがって、運動量の大きさは6.0 kg・m/sです。

例題2(標準)

問題

静止していた質量0.50 kgのボールに、右向きに20 Nの力を0.10秒間加えました。この間にボールが受けた力積の大きさと、力を受けた直後のボールの速さを求めなさい。

解答・解説を見る

まず、力積の定義 $I=F\Delta t$ を使って力積を求めます。

$I = F\Delta t = 20 \times 0.10 = 2.0 \text{ N·s}$

次に、力積と運動量の変化の関係 $F\Delta t = mv' - mv$ を使います。ボールは最初静止していたので $v=0$ です。

$F\Delta t = mv' - m\times 0$

$2.0 = 0.50 \times v'$

$v' = \frac{2.0}{0.50} = 4.0 \text{ m/s}$

したがって、ボールが受けた力積の大きさは2.0 N・s、力を受けた直後の速さは4.0 m/sです。

例題3(応用)

問題

右向きに5.0 m/sで飛んできた質量0.20 kgのボールを、バットで打ち返したところ、ボールは左向きに15 m/sの速さで飛んでいきました。ボールがバットから受けた力積の大きさと向きを求めなさい。

解答・解説を見る

右向きを正として考えます。打たれる前のボールの速度は $v = +5.0$ m/s、打たれた後の速度は左向きなので $v' = -15$ m/sです。

力積と運動量の変化の関係 $F\Delta t = mv' - mv$ を使うと、

$I = mv' - mv = 0.20 \times (-15) - 0.20 \times (5.0)$

$I = -3.0 - 1.0 = -4.0 \text{ N·s}$

符号が負なので、力積の向きは左向きです。したがって、ボールがバットから受けた力積の大きさは4.0 N・s、向きは左向きです。

この問題のポイントは、ボールが「向きを反転させられている」という点です。単純に速さの変化だけを見ると $15-5=10$ m/sの変化のように見えますが、向きが逆になっているため、運動量の変化(速度の変化)を計算するときは符号に注意して、$-15-(+5)=-20$ という速度の変化(m/s)をもとにする必要があります。実際、$m\times(-20) = 0.20\times(-20)=-4.0$ N・sとなり、上の結果と一致します。

練習問題

問題

質量1500 kgの自動車が、静止した状態からブレーキを離してアクセルを踏み、一定の力を受けて5.0秒後に速さ10 m/sになりました。この間に自動車が受けた力積の大きさと、自動車が受けていた力の大きさを求めなさい。

答え

力積は運動量の変化に等しいので、$I = mv' - mv = 1500\times10 - 1500\times0 = 15000$ N・s。力の大きさは $I=F\Delta t$ より $F = \dfrac{15000}{5.0} = 3000$ N。