単振動(ばね振り子・単振り子)

要点整理

ばねにおもりをつけて引っ張ってから離すと、おもりはつり合いの位置を中心に、行ったり来たりをくり返します。ブランコや振り子の動きも、同じように中心を挟んでくり返す動きです。このように、一定の周期でくり返し振動する運動を単振動と呼びます。

単振動と円運動の関係

単振動は、実は等速円運動と深い関係があります。半径 $A$ の円周上を角速度 $\omega$ で等速円運動している点を考え、その点を真横(たとえばx軸方向)から光で照らしたときにできる「影」の動きを考えてみましょう。円運動している点のx座標は、前のセクションで学んだように $x=A\cos(\omega t)$ の形(または、開始位置によっては $x=A\sin(\omega t)$ の形)で表せます。この「影」の動き、つまりx座標だけの動きが、単振動そのものなのです。

ここでは、時刻 $t=0$ でちょうどつり合いの位置(中心)にあり、そこで最大の速さを与えられて振動を始める場合を考えます。この場合、変位 $x$ は次の式で表されます。

$x = A\sin(\omega t)$

ここで $A$ は振幅と呼ばれ、つり合いの位置から最も離れたときの変位の大きさを表します。$\omega$ は角振動数と呼ばれ、円運動の角速度と同じ役割を果たす量です。

速度と加速度

変位の式 $x=A\sin(\omega t)$ から、速度と加速度を求めてみます。速度は変位の時間変化の割合なので、$\sin$ を微分すると $\cos$ になるという関係を使うと(数学IIIで学ぶ内容ですが、結果として次の形になることを覚えておきましょう)、

$v = A\omega\cos(\omega t)$

さらに、加速度は速度の時間変化の割合なので、同様に $\cos$ を微分すると $-\sin$ になるという関係から、

$a = -A\omega^2\sin(\omega t)$

ここで、$A\sin(\omega t)$ の部分はもとの変位 $x$ そのものなので、この式は次のように書き直せます。

$a = -\omega^2 x$

この式は単振動の最も重要な特徴を表しています。加速度が、変位 $x$ に比例し、向きが変位と反対(マイナスの符号)であるということです。つまり、つり合いの位置から離れるほど、つり合いの位置へ戻そうとする向きに強い加速度がはたらく、ということを意味しています。運動方程式 $ma=F$ にこの加速度を代入すると、物体にはたらく力(復元力)も変位に比例することがわかります。

$F = ma = -m\omega^2 x$

この式は、ばね振り子で学ぶフックの法則 $F=-kx$ とまったく同じ形をしています。

ばね振り子

ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ のおもりをつけたばね振り子では、おもりにはたらく復元力はフックの法則より $F=-kx$ です。これを、単振動の復元力の式 $F=-m\omega^2x$ と見比べると、

$m\omega^2 = k$

したがって、

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

周期は $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ の関係を使って、

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

ばね振り子の周期は、ばね定数が大きい(硬いばね)ほど短く、質量が大きいほど長くなることをこの式は示しています。

単振り子

長さ $l$ の糸に、質量 $m$ のおもりをつけてつくる振り子を単振り子と呼びます。振れる角度が小さい範囲では、単振り子の運動も単振動とみなせることが知られており、その角振動数は、

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

で表されます(ここで $g$ は重力加速度です)。これはばね振り子の $\omega=\sqrt{k/m}$ の $k/m$ の部分が $g/l$ に置き換わった形になっています。周期は同様に、

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

となります。単振り子の周期がおもりの質量 $m$ を含んでいない、という点は重要な特徴です。つまり、糸の長さが同じであれば、おもりの重さを変えても周期は変わりません。

下のシミュレーションでは、振幅と角振動数を変えられます。おもりの位置(変位)がどのように振動するか、また情報欄に表示される速度・加速度の値がどう変化するか確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

ばね定数200 N/mのばねに、質量0.50 kgのおもりをつけてばね振り子をつくりました。この振り子の角振動数と周期を求めなさい。

解答・解説を見る

角振動数の公式 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ を使います。

$\omega = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s}$

周期は $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ を使って、

$T = \frac{2\pi}{20} = \frac{6.28}{20} \approx 0.31 \text{ s}$

したがって、角振動数は20 rad/s、周期は約0.31秒です。

例題2(標準)

問題

長さ2.45 mの糸を使った単振り子があります。重力加速度を $g=9.8$ m/s²として、この振り子の周期を求めなさい。

解答・解説を見る

単振り子の周期の公式 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ を使います。まず根号の中を計算すると、

$\frac{l}{g} = \frac{2.45}{9.8} = 0.25$

$\sqrt{0.25} = 0.5$

これを周期の式に代入すると、

$T = 2\pi\times0.5 = \pi \approx 3.14 \text{ s}$

したがって、この単振り子の周期は $\pi$ 秒、約3.14秒です。

例題3(応用)

問題

振幅0.20 m、角振動数5.0 rad/sで単振動する物体があります($x=A\sin(\omega t)$ の形で運動しています)。時刻 $t=\dfrac{\pi}{10}$ sにおける、この物体の速度と加速度をそれぞれ求めなさい。

解答・解説を見る

まず、時刻 $t=\dfrac{\pi}{10}$ sにおける $\omega t$ の値を計算します。

$\omega t = 5.0\times\frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$

これは90°に相当する角度です。$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$、$\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ であることを使います。

まず変位を求めると、

$x = A\sin(\omega t) = 0.20\times1 = 0.20 \text{ m}$

これは振幅と同じ値、つまり物体がちょうど最も離れた位置(端の位置)にいることを意味します。

速度は、

$v = A\omega\cos(\omega t) = 0.20\times5.0\times0 = 0 \text{ m/s}$

加速度は、$a=-\omega^2 x$ の関係を使うと、

$a = -\omega^2 x = -(5.0)^2\times0.20 = -25\times0.20 = -5.0 \text{ m/s}^2$

したがって、この時刻での速度は0 m/s、加速度は $-5.0$ m/s²(つり合いの位置に向かう向き)です。

この結果は、単振動の性質をよく表しています。振動の端(振幅の位置)では、物体は一瞬静止して速度が0になり、そこから最も強い復元力(加速度)を受けてつり合いの位置に戻され始めるのです。

練習問題

問題

ばね定数50 N/mのばねに、質量2.0 kgのおもりをつけました。この振り子の周期を求めなさい。

答え

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{50}{2.0}}=\sqrt{25}=5.0$ rad/s。$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{5.0}\approx1.3$ s。