物理基礎 / 運動とエネルギー
運動の法則(運動方程式)
要点整理
これまでのページで、力のつり合いや、加速度の表し方について学んできました。このページでは、「力がつり合っていないとき、物体はどのように運動するのか」という、力学の中心となる法則を学びます。
ニュートンの3つの法則(まとめ)
物体の運動と力の関係は、ニュートンが整理した3つの法則にまとめられています。
- 慣性の法則(第一法則):物体にはたらく合力が $0$ のとき、静止している物体は静止し続け、動いている物体は等速直線運動を続けます。
- 運動の法則(第二法則):物体にはたらく合力が $0$ でないとき、物体には合力の向きに加速度が生じます。この関係を式にしたものが、次に説明する運動方程式です。
- 作用反作用の法則(第三法則):物体Aが物体Bに力を加えると、物体Bも物体Aに、大きさが等しく向きが反対の力を返します。
このページでは、特に2番目の法則を詳しく扱います。
運動方程式
物体の質量を $m$、物体にはたらく合力を $F$、そのとき生じる加速度を $a$ とすると、次の関係が成り立ちます。
$ma = F$
これを運動方程式と呼びます。この式からわかる大切なポイントを整理しておきましょう。
- $F$ は「物体にはたらいているすべての力を合成した合力」です。複数の力がはたらいている場合は、必ず力を合成してから($\sum F$ として)代入します。
- 同じ力を加えても、質量 $m$ が大きい物体ほど、生じる加速度 $a$ は小さくなります(動かしにくい)。
- 力の単位ニュートン($\mathrm{N}$)は、この式から $1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg}\times 1\ \mathrm{m/s^2}$ と定義されています。つまり $\mathrm{N} = \mathrm{kg\cdot m/s^2}$ です。
運動方程式は、力のつり合い($\sum F=0$)を特別な場合として含んでいます。合力が $0$ ならば加速度も $0$ になり、これは前のページまでで学んだ「静止し続ける、または等速直線運動を続ける」状態そのものです。合力が $0$ でなければ、物体は加速度を持って運動します。
摩擦がある場合の運動方程式
前のページで学んだ摩擦力も、運動方程式の中の「合力」の一部として扱います。たとえば、水平な床の上の物体を力 $F$ で押すとき、動摩擦力 $f'=\mu' mg$ が運動を妨げる向き(押す向きと反対)にはたらくので、合力は $F-f'$ となり、運動方程式は
$ma = F - f'$
となります。ただし、押す力 $F$ が最大摩擦力 $\mu mg$ を超えていない場合は、物体はそもそも静止したままなので、$a=0$ です。
下のシミュレーションで、力の大きさ・物体の質量・摩擦係数を変えながら、物体が動き出すかどうか、動き出したときの加速の様子がどう変わるかを確認してみましょう。
例題
例題1(基本)
問題
質量 $4\ \mathrm{kg}$ の物体に、$12\ \mathrm{N}$ の合力がはたらいている(摩擦は無視できるものとする)。この物体の加速度を求めよ。
解答・解説を見る
運動方程式 $ma=F$ に $m=4$、$F=12$ を代入します。
$4\times a = 12$
両辺を $4$ で割ると、
$a = 3\ \mathrm{m/s^2}$
答え:加速度は $3\ \mathrm{m/s^2}$
例題2(標準)
問題
質量 $5\ \mathrm{kg}$ の箱が、動摩擦係数 $0.2$ の床の上にある。水平に $20\ \mathrm{N}$ の力で押して動かしているとき、この箱の加速度を求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。
解答・解説を見る
動いている箱にはたらく動摩擦力を求めます。
$f' = \mu' mg = 0.2\times 5\times 9.8 = 9.8\ \mathrm{N}$
箱にはたらく合力は、押す力から動摩擦力(運動を妨げる向き)を引いたものです。
$F_{合力} = 20 - 9.8 = 10.2\ \mathrm{N}$
運動方程式 $ma=F$ に、$m=5$、$F=10.2$ を代入します。
$5\times a = 10.2$
$a = 2.04\ \mathrm{m/s^2}$
答え:加速度は $2.04\ \mathrm{m/s^2}$
例題3(応用)
問題
質量 $60\ \mathrm{kg}$ の人が、エレベーターの中で体重計に乗っている。エレベーターが上向きに $2\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で加速しているとき、体重計が示す力(人が体重計を押す力の大きさ、垂直抗力の大きさに等しい)を求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。
解答・解説を見る
人にはたらく力は、下向きの重力 $mg$ と、上向きの垂直抗力 $N$(体重計から受ける力)の2つです。上向きを正とすると、運動方程式は、
$ma = N - mg$
これを $N$ について解くと、
$N = ma + mg = m(a+g)$
$m=60$、$a=2$、$g=9.8$ を代入します。
$N = 60\times(2+9.8) = 60\times 11.8 = 708\ \mathrm{N}$
答え:体重計が示す力は $708\ \mathrm{N}$
エレベーターが上向きに加速しているときは、静止しているときの重力 $mg=60\times9.8=588\ \mathrm{N}$ よりも大きな値が表示されることがわかります。これは、体が重く感じる感覚と一致しています。
練習問題
問題
質量 $2\ \mathrm{kg}$ の物体が、一定の合力を受けて $3\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で加速している。この物体にはたらいている合力の大きさを求めよ。
答え
$F=ma=2\times 3=6\ \mathrm{N}$