等速円運動

要点整理

最初のセクションで、「速さが変わらなくても、向きが変わり続ければ加速度が生じる」と学んだことを覚えていますか。等速円運動は、まさにこの性質をもつ運動の代表例です。円周上を一定の速さで回り続ける物体は、常に進む向きが変わり続けているため、速さが一定であっても加速度が生じ続けています。

角速度

円運動を表すとき、直線運動の「速度」に対応する量として角速度 $\omega$(オメガ)を使います。角速度は、単位時間あたりに回転する角度(中心角)を表す量で、単位はrad/s(ラジアン毎秒)です。時間 $\Delta t$ の間に角度 $\Delta \theta$ だけ回転したとすると、

$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

円運動が1周(角度にして $2\pi$ ラジアン)するのにかかる時間を周期 $T$ と呼びます。角速度が一定の等速円運動では、1周分の角度 $2\pi$ を周期 $T$ で割ったものが角速度になるので、

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

という関係が成り立ちます。

座標と速さ

半径 $r$ の円周上を、原点を中心として角速度 $\omega$ で回転する物体を考えます。時刻 $t=0$ で角度0の位置(x軸上)にあったとすると、時刻 $t$ での物体の位置は、

$x = r\cos(\omega t), \qquad y = r\sin(\omega t)$

と表せます。これは、時刻 $t$ までに回転した角度が $\omega t$ であることから、円のx座標・y座標の定義(半径×余弦、半径×正弦)にそのまま当てはめたものです。

円周上を1周する間に物体が進む道のり(円周の長さ)は $2\pi r$ です。この道のりを、1周にかかる時間である周期 $T$ で割ると、物体の速さ $v$ が求まります。

$v = \frac{2\pi r}{T}$

ここで $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ という関係を使うと、$\dfrac{2\pi}{T} = \omega$ なので、

$v = \frac{2\pi r}{T} = r \times \frac{2\pi}{T} = r\omega$

したがって、速さと角速度の関係は、

$v = r\omega$

という、とてもシンプルな式にまとまります。半径が大きいほど、同じ角速度でも実際の速さは大きくなる、という関係を表しています。

向心加速度

等速円運動をしている物体には、常に円の中心を向く加速度が生じています。これを向心加速度と呼びます。向心加速度の大きさ $a$ は、次の式で表されます。

$a = r\omega^2$

この式に $v=r\omega$ の関係(つまり $\omega = \dfrac{v}{r}$)を代入すると、別の表し方も導けます。

$a = r\omega^2 = r\left(\frac{v}{r}\right)^2 = r\times\frac{v^2}{r^2} = \frac{v^2}{r}$

したがって、向心加速度は次の2通りの式で表せます。

$a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}$

なぜ中心を向く加速度が生じるのか、直感的に確認しておきましょう。円運動している物体の速度ベクトルは、常に円の接線方向(進行方向)を向いています。物体がわずかに回転すると、速度ベクトルの向きだけが変わり(等速円運動なので大きさは変わりません)、その「向きの変化分」を表すベクトルは、常に円の中心方向を向くことが図形的に示せます。加速度は速度の変化の割合なので、この中心方向への「向きの変化」が、中心を向く加速度として現れるのです。

向心力

向心加速度を生じさせるためには、運動方程式 $F=ma$ にしたがって、円の中心を向く力が必要です。この力を向心力と呼びます。

$F = ma = mr\omega^2 = \frac{mv^2}{r}$

向心力は、新しい種類の力ではなく、実際には張力・摩擦力・万有引力など、状況に応じた既存の力が「たまたま中心方向を向くことで円運動を実現させている」ものです。たとえば、糸につないだおもりを振り回すときは糸の張力が、カーブを曲がる自動車ではタイヤと路面の間の摩擦力が、それぞれ向心力の役割を果たしています。

下のシミュレーションで、半径と角速度を変えたときに、物体の動きと向心加速度の大きさがどう変わるか確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

半径2.0 mの円周上を、角速度3.0 rad/sで等速円運動する物体があります。この物体の速さと、周期を求めなさい。

解答・解説を見る

速さは $v=r\omega$ を使って、

$v = r\omega = 2.0\times3.0 = 6.0 \text{ m/s}$

周期は $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ を $T$ について解いた $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ を使って、

$T = \frac{2\pi}{3.0} \approx \frac{6.28}{3.0} \approx 2.1 \text{ s}$

したがって、速さは6.0 m/s、周期は約2.1秒です。

例題2(標準)

問題

半径0.50 mの円周上を、速さ4.0 m/sで等速円運動する質量0.20 kgの物体があります。この物体の向心加速度の大きさと、向心力の大きさを求めなさい。

解答・解説を見る

向心加速度は、速さを使った式 $a=\dfrac{v^2}{r}$ を使って求められます。

$a = \frac{v^2}{r} = \frac{4.0^2}{0.50} = \frac{16}{0.50} = 32 \text{ m/s}^2$

向心力は、運動方程式 $F=ma$ にこの加速度を代入して求めます。

$F = ma = 0.20\times32 = 6.4 \text{ N}$

したがって、向心加速度の大きさは32 m/s²、向心力の大きさは6.4 Nです。

例題3(応用)

問題

長さ0.80 mの軽い糸の一端に質量0.30 kgのおもりを結び、他端を持って水平面内で等速円運動させたところ、糸が水平から見て一定の角度を保ちながら、周期1.0秒で回転しました(円錐振り子)。この円運動の半径を $r$、糸の張力を $S$、糸と鉛直方向のなす角を $\phi$ として、向心力の式を立てなさい(数値計算は不要です)。

解答・解説を見る

円錐振り子では、おもりは水平面内で等速円運動をしていて、おもりにはたらく力は重力(下向き、大きさ $mg$)と糸の張力(大きさ $S$、糸の向き)の2つです。

張力を鉛直成分と水平成分に分解します。鉛直方向にはおもりは上下に動かないので、鉛直方向の力はつり合っています。

$S\cos\phi = mg$

水平方向には、おもりは円運動をしているので、その成分が向心力として働きます。水平方向の張力の成分が、向心力の式 $F=mr\omega^2$ に等しくなります。

$S\sin\phi = mr\omega^2$

この問題のポイントは、向心力は新しい種類の力ではなく、既存の力(ここでは糸の張力)の一部が中心方向を向くことで実現されているという点です。実際に半径や角度を数値で求めるときは、この2つの式($S\cos\phi=mg$ と $S\sin\phi=mr\omega^2$)を連立させて解きます。

練習問題

問題

半径5.0 mの円周上を、周期 $\pi$ 秒(約3.14秒)で等速円運動する物体があります。角速度と速さを求めなさい。

答え

角速度は $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2.0$ rad/s。速さは $v=r\omega=5.0\times2.0=10$ m/s。