章末問題

船の運動は、「流れに垂直な方向」と「流れに沿う方向」に分けて、それぞれ独立に考えることができます。

流れに垂直な方向:船首をこの向きに向けているので、この方向の速さはそのまま5.0 m/sです。川幅40 mを渡りきるのにかかる時間 $t$ は、

$t = \frac{40}{5.0} = 8.0 \text{ s}$

流れに沿う方向:この方向には、川の流れによって3.0 m/sで押し流され続けます。8.0秒の間に流される距離は、

$3.0 \times 8.0 = 24 \text{ m}$

したがって、対岸に着くまでの時間は8.0秒、その間に下流方向へ流される距離は24 mです。

初速度を成分に分けます。

$v_{0x} = 25\times0.8 = 20 \text{ m/s}, \qquad v_{0y} = 25\times0.6 = 15 \text{ m/s}$

x方向には力がはたらかないので、速度は変化しません。

$v_x = 20 \text{ m/s(一定)}$

y方向には重力による加速度 $-g$ がはたらくので、$t=1.0$ sでの速度は、

$v_y = v_{0y} - gt = 15 - 9.8\times1.0 = 5.2 \text{ m/s}$

したがって、$t=1.0$ sでの速度ベクトルの成分は $(20, 5.2)$ m/sです。速さは、

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{20^2+5.2^2} = \sqrt{400+27.04} = \sqrt{427.04} \approx 20.7 \text{ m/s}$

したがって、速さは約20.7 m/sです。

ヒンジO点のまわりのモーメントのつり合いを考えます。O点自身にはたらく力(壁からの反力)は、腕の長さが0なのでモーメントに寄与しません。

棒の重さ40 Nは、Oから2.0 mの位置に下向きにはたらくので、そのモーメントの大きさは、

$M_{重さ} = 40\times2.0 = 80 \text{ N·m}$

ケーブルの張力 $T$ は、棒の先端(Oから4.0 mの位置)で、棒と30°の角をなす向きにはたらいています。この力を、棒に垂直な成分と平行な成分に分解すると、モーメントに寄与するのは棒に垂直な成分 $T\sin30^\circ$ です。腕の長さはOから作用点までの距離である4.0 mそのものなので、モーメントの大きさは、

$M_{張力} = T\sin30^\circ\times4.0 = T\times0.5\times4.0 = 2.0T$

棒が水平を保つ(回転しない)ためには、この2つのモーメントの大きさが等しくなければなりません。

$2.0T = 80$

$T = \frac{80}{2.0} = 40 \text{ N}$

したがって、ケーブルの張力は40 Nです。

右向きを正とし、$m_A=2.0$ kg、$v_A=6.0$ m/s、$m_B=4.0$ kg、$v_B=0$ とします。

運動量保存則より、

$m_Av_A + m_Bv_B = m_Av_A\,' + m_Bv_B\,'$

$2.0\times6.0 + 4.0\times0 = 2.0\,v_A\,' + 4.0\,v_B\,'$

$v_A\,' + 2.0\,v_B\,' = 6.0 \quad \cdots ①$

反発係数の式より、

$0.5 = -\frac{v_A\,'-v_B\,'}{6.0-0}$

$v_A\,'-v_B\,' = -3.0 \quad \cdots ②$

②より $v_A\,'=v_B\,'-3.0$ を①に代入すると、

$(v_B\,'-3.0) + 2.0\,v_B\,' = 6.0$

$3.0\,v_B\,' = 9.0$

$v_B\,' = 3.0 \text{ m/s}$

これを②に代入すると $v_A\,'=3.0-3.0=0$ m/s。

したがって、衝突後Aは静止し($v_A\,'=0$)、Bは3.0 m/sで進みます。

次に、運動エネルギーを比較します。衝突前の運動エネルギーの合計は、

$E_{前} = \frac{1}{2}\times2.0\times6.0^2 + \frac{1}{2}\times4.0\times0^2 = \frac{1}{2}\times2.0\times36 = 36 \text{ J}$

衝突後の運動エネルギーの合計は、

$E_{後} = \frac{1}{2}\times2.0\times0^2 + \frac{1}{2}\times4.0\times3.0^2 = \frac{1}{2}\times4.0\times9.0 = 18 \text{ J}$

失われた運動エネルギーは、

$E_{前} - E_{後} = 36 - 18 = 18 \text{ J}$

したがって、衝突によって18 Jの運動エネルギーが失われました。反発係数が $e<1$ の非弾性衝突では、このように力学的エネルギーの一部が熱や音などに変わって失われる、という点を確認しておきましょう。

円の最高点では、ボールにはたらく力は重力(下向き、$mg$)と糸の張力(下向き、大きさ $S$)です(最高点では糸は鉛直方向を向いており、張力も下向きにはたらきます)。この2つの力の合計が、最高点での向心力(下向き、円の中心を向く向き)になります。

$mg + S = \frac{mv^2}{r}$

糸がたるまずに円運動を続けるための条件は、張力 $S\ge0$ です。$S$ が最小(ちょうど0)になるときが、円運動を保てる最小の速さの条件になります。$S=0$ とおくと、

$mg = \frac{mv^2}{r}$

両辺を $m$ で割ると、

$g = \frac{v^2}{r}$

$v^2 = gr = 9.8\times0.80 = 7.84$

$v = \sqrt{7.84} = 2.8 \text{ m/s}$

したがって、最高点で円運動を保つための最小の速さは2.8 m/sです。もしこれより遅い速さで最高点を通過しようとすると、必要な向心力を重力だけでまかないきれず(糸を押す力は出せないため)、ボールは円軌道からはずれて落下してしまいます。

ばね振り子の角振動数の公式 $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ を使います。

$\omega = \sqrt{\frac{100}{4.0}} = \sqrt{25} = 5.0 \text{ rad/s}$

周期は、

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5.0} \approx \frac{6.28}{5.0} \approx 1.3 \text{ s}$

したがって、周期は約1.3秒です。

鉛直につるした場合、重力によっておもりのつり合いの位置(振動の中心)は、ばねが自然長のときより下にずれます。しかし、周期の公式 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ には重力加速度 $g$ が登場しません。これは、重力が単振動の「中心の位置」をずらすだけで、中心からの変位に対する復元力の大きさ(ばね定数 $k$ で決まる部分)には影響しないためです。したがって、水平に置いた場合と鉛直につるした場合とで、周期は変わりません。

万有引力が向心力の役割を果たしているので、

$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

両辺を $m$ で割り、さらに両辺に $r$ を掛けると、

$\frac{GM}{r} = v^2$

数値を代入すると、

$v^2 = \frac{4.0\times10^{14}}{4.0\times10^6} = 1.0\times10^{8}$

$v = \sqrt{1.0\times10^{8}} = 1.0\times10^{4} \text{ m/s}$

したがって、この衛星の軌道速さは $1.0\times10^4$ m/s、つまり10 km/sです。

電車と一緒に動く観測者(非慣性系)の立場で考えます。この観測者から見ると、ボールには、重力(下向き、$mg$)、糸の張力(糸の向き、大きさ $S$)に加えて、電車の加速度 $a$ と逆向き(進行方向と逆向き)にはたらく慣性力(大きさ $ma$)がはたらいて見えます。ボールはこの観測者から見て静止して見えるので、これら3つの力がつり合っています。

鉛直方向のつり合いより、

$S\cos\theta = mg$

水平方向のつり合いより(慣性力と、張力の水平成分がつり合う)、

$S\sin\theta = ma$

上の式を下の式で割ると($S$ が消去できます)、

$\tan\theta = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$

数値を代入すると、

$\tan\theta = \frac{2.45}{9.8} = 0.25$

$\tan\theta=0.25$ となる角度は、およそ $\theta\approx14^\circ$ です。したがって、ボールをつるした糸は鉛直方向から約14°傾いた状態で静止して見えます。電車の外(地面)に立つ観測者から見れば、この傾きは、ボールが電車と同じ加速度で加速するために、張力の水平成分が必要になっていることを示しています。