気体分子運動論

要点整理

気体の正体は「飛び回る無数の分子」

私たちの身の回りにある気体は、目には見えませんが、実際には非常にたくさんの分子(または原子)が、決まった方向を持たずに四方八方へ飛び回っている集まりです。この飛び回る運動を熱運動と呼びます。分子どうしはときどき衝突しますし、容器があればその壁にも衝突します。温度が高くなるほど、分子は激しく(つまり速く)動くようになります。

前の単元で学んだ「温度」という量は、実は、この分子の熱運動がどれくらい激しいかを表す量だったのです。この単元では、目に見えない分子の運動と、圧力や温度といった目に見える(測定できる)量とを、力学の法則を使って結びつけていきます。

圧力とは何か

まず、圧力の定義を確認しておきましょう。圧力とは、

$p = \frac{F}{S}$

のように、面に垂直に働く力$F$の大きさを、その面の面積$S$で割ったものです。単位は $\mathrm{Pa}$(パスカル)で、$1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ です。

容器に閉じ込められた気体が容器の壁を押す圧力は、ミクロに見ると、無数の分子が壁に次々と衝突し、その一つ一つの衝突が壁に小さな力を及ぼしていることの積み重ねです。1個の衝突の力は非常に小さくても、1秒間に膨大な数の衝突が起こるため、合計すると私たちが測定できるほどの圧力になります。

圧力の式を導いてみよう

分子の運動から圧力の式を導いてみましょう。少し長い計算になりますが、1つずつ確認していけば難しくありません。

1辺の長さが$L$の立方体の容器に、質量$m$の気体分子が$N$個入っているとします。したがって、容器の体積は $V = L^3$ です。

ステップ1:1回の衝突で壁が受け取る運動量

このうちの1個の分子に注目します。この分子が、ある1枚の壁(その壁に垂直な方向を$x$軸とします)に、速度の$x$成分 $v_x$ で垂直に衝突し、はね返る場合を考えます。衝突はエネルギーを失わない弾性衝突とすると、衝突の前後で分子の速さは変わらず、$x$方向の速度は向きだけが逆転します。

$v_x \ \to\ -v_x$

このとき、分子の運動量($x$成分)の変化は、

$(-mv_x) - (mv_x) = -2mv_x$

です。分子が運動量を$-2mv_x$だけ変化させたということは、運動量保存の法則(作用・反作用)により、壁は分子から大きさ$2mv_x$の運動量を受け取ったことになります。

ステップ2:同じ壁に次に衝突するまでの時間

この分子は、反対側の壁まで距離$L$を進み、そこで跳ね返ってまた距離$L$を戻ってくることで、もとの壁に再び衝突します。往復の距離は$2L$なので、次に同じ壁に衝突するまでにかかる時間は、

$\Delta t = \frac{2L}{v_x}$

です。

ステップ3:1個の分子が壁に及ぼす平均の力

力とは、単位時間あたりに受け渡す運動量の変化のことでした。したがって、この1個の分子が壁に及ぼす平均の力は、

$\frac{2mv_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\dfrac{2L}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{L}$

となります。分数の分数を計算するときは、割る数の逆数をかける、という手順を思い出してください。$2mv_x \div \dfrac{2L}{v_x} = 2mv_x \times \dfrac{v_x}{2L} = \dfrac{mv_x^2}{L}$ です。

ステップ4:すべての分子について合計する

容器の中には$N$個の分子があり、それぞれ$x$方向の速度成分は異なります。すべての分子について上の力を合計すると、壁全体が受ける平均の力$F$になります。分子ごとの$v_x^2$の値を全て合計する代わりに、$v_x^2$の平均値$\overline{v_x^2}$を使って、

$F = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}$

と書けます。

ステップ5:圧力を求める

圧力は力を面積で割ったものです。壁の面積は $S = L^2$ なので、

$p = \frac{F}{S} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L \times L^2} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{V}$

ステップ6:方向による偏りをなくす

ここまでは$x$方向だけを考えてきましたが、分子の熱運動には特定の向きへの偏りがありません。したがって、$x$、$y$、$z$のどの方向についても、速度成分の2乗の平均は等しいと考えられます。

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$

一方、1個の分子の速さ$v$については、三平方の定理を3次元に拡張した関係 $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$ が成り立ちます。この両辺の平均を取ると、

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$

となるので、

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$

ステップ7:最終的な式

ステップ5の結果に、ステップ6で求めた関係を代入します。

$p = \frac{Nm}{V}\times\frac{1}{3}\overline{v^2} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$

両辺に$V$をかけると、次の式が得られます。

$pV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}$

この式は、圧力$p$と体積$V$の積が、分子の個数$N$、分子1個の質量$m$、そして分子の速さの2乗の平均$\overline{v^2}$で決まることを示しています。分子が速く動くほど($\overline{v^2}$が大きいほど)、また分子の数が多いほど、圧力は大きくなるということです。これは、私たちの直感(気体を温めると圧力が上がる、気体分子を増やすと圧力が上がる)とも一致しますね。

温度は分子運動の激しさを表す

上の式の中の$\overline{v^2}$は、分子の熱運動の激しさを表す量でした。実は、絶対温度$T$と、分子1個あたりの平均運動エネルギー $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2}$ との間には、次の関係が成り立つことが分かっています。

$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$

ここで$k$はボルツマン定数と呼ばれる定数で、$k \approx 1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ という値を持ちます。この式は、「絶対温度とは、分子1個あたりの平均運動エネルギーを測る目盛りである」ということを表しています。温度が2倍になれば、分子1個あたりの平均運動エネルギーも2倍になる、という比例関係です。

下のシミュレーションで、温度を変えると分子の動く速さがどう変わるかを確認してみましょう。

温度を上げると、箱の中の点(分子)が速く動き回るようになるのが分かるはずです。分子が速くなると、壁への衝突がより激しく、より頻繁になるため、圧力が大きくなります。

例題

例題1(基本)

問題

体積 $V = 1.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ の容器の中に、質量 $m = 5.0\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ の気体分子が $N = 3.0\times10^{23}$ 個入っている。分子の速さの2乗の平均が $\overline{v^2} = 2.5\times10^{5}\ \mathrm{m^2/s^2}$ であるとき、この気体の圧力$p$を求めよ。

解答・解説を見る

気体分子運動論の式 $pV = \dfrac{1}{3}Nm\overline{v^2}$ を使います。まず右辺の $Nm\overline{v^2}$ を計算します。

$Nm\overline{v^2} = 3.0\times10^{23} \times 5.0\times10^{-26} \times 2.5\times10^{5}$

数字の部分だけ先に計算すると、$3.0\times5.0\times2.5 = 37.5$ です。

次に $10$ の累乗の部分をまとめると、$10^{23}\times10^{-26}\times10^{5} = 10^{23-26+5} = 10^{2}$ です。

したがって、

$Nm\overline{v^2} = 37.5\times10^{2} = 3.75\times10^{3}$

これを3で割って、

$pV = \frac{1}{3}\times 3.75\times10^{3} = 1.25\times10^{3}$

最後に、両辺を$V$で割って圧力$p$を求めます。

$p = \frac{1.25\times10^{3}}{1.0\times10^{-2}} = 1.25\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

答え:$p = 1.25\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

例題2(標準)

問題

絶対温度 $T = 300\ \mathrm{K}$ の気体分子1個あたりの平均運動エネルギーを求めよ。ボルツマン定数を $k = 1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ とする。また、この分子の質量を $m = 5.0\times10^{-26}\ \mathrm{kg}$ として、分子の二乗平均平方根速さ $\sqrt{\overline{v^2}}$ を求めよ。

解答・解説を見る

平均運動エネルギーを求める

関係式 $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}kT$ の右辺に、$k = 1.38\times10^{-23}$、$T = 300$ を代入します。

$\frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}\times 1.38\times10^{-23}\times 300$

まず $1.5 \times 1.38 = 2.07$ を計算し、次に $2.07\times300 = 621$ を計算すると、

$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = 621\times10^{-23} = 6.21\times10^{-21}\ \mathrm{J}$

二乗平均平方根速さを求める

上で求めた平均運動エネルギーの式 $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = 6.21\times10^{-21}$ を、$\overline{v^2}$ について解きます。両辺に$2$をかけて$m$で割ると、

$\overline{v^2} = \frac{2\times6.21\times10^{-21}}{5.0\times10^{-26}} = \frac{12.42\times10^{-21}}{5.0\times10^{-26}}$

数字の部分は $12.42\div5.0 = 2.484$、10の累乗の部分は $10^{-21-(-26)} = 10^{5}$ なので、

$\overline{v^2} = 2.484\times10^{5}\ \mathrm{m^2/s^2}$

二乗平均平方根速さは、この平方根を取ればよいので、

$\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{2.484\times10^{5}} \approx 498\ \mathrm{m/s}$

答え:平均運動エネルギーは $6.21\times10^{-21}\ \mathrm{J}$、二乗平均平方根速さは約 $5.0\times10^{2}\ \mathrm{m/s}$(有効数字2桁)

例題3(応用)

問題

体積 $V = 8.3\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$、絶対温度 $T = 300\ \mathrm{K}$、圧力 $p = 1.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$ の気体がある。この容器内の分子の個数$N$を求めよ。ただし、分子の質量や速さの値は与えられていないので、まずは気体分子運動論の式 $pV = \dfrac{1}{3}Nm\overline{v^2}$ と、温度の式 $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}kT$ を組み合わせて、$m$ や $\overline{v^2}$ を含まない式を作ってから計算せよ。ボルツマン定数は $k = 1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ とする。

解答・解説を見る

2つの式を組み合わせる

温度の式 $\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}kT$ の両辺を2倍すると、

$m\overline{v^2} = 3kT$

これを、圧力の式 $pV = \dfrac{1}{3}Nm\overline{v^2}$ に代入します。$m\overline{v^2}$ の部分を $3kT$ に置き換えると、

$pV = \frac{1}{3}N\times 3kT = NkT$

このように、$m$や$\overline{v^2}$を使わずに、圧力・体積・分子数・温度だけの関係式 $pV = NkT$ が得られました。

Nを求める

この式を$N$について解くと、

$N = \frac{pV}{kT}$

数値を代入します。分子は、

$pV = 1.0\times10^{5}\times 8.3\times10^{-3} = 8.3\times10^{2} = 830$

分母は、

$kT = 1.38\times10^{-23}\times300 = 414\times10^{-23} = 4.14\times10^{-21}$

したがって、

$N = \frac{830}{4.14\times10^{-21}} \approx 2.0\times10^{23}\ \text{個}$

答え:$N \approx 2.0\times10^{23}$ 個

この $pV = NkT$ という式は、次のページで学ぶ気体の状態方程式 $pV = nRT$ と、とてもよく似た形をしています。実際、分子数$N$を物質量$n$(モル)を使って $N = nN_A$($N_A$はアボガドロ定数)と表し、$k = R/N_A$ という関係を使うと、$NkT = nN_A\times\dfrac{R}{N_A}\times T = nRT$ となり、2つの式が一致することが確かめられます。

練習問題

問題

絶対温度 $T = 200\ \mathrm{K}$ の気体分子1個あたりの平均運動エネルギーを求めよ。ボルツマン定数は $k = 1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ とする。

答え

$\dfrac{3}{2}kT = 1.5\times1.38\times10^{-23}\times200 = 4.14\times10^{-21}\ \mathrm{J}$