平面内の運動とベクトル

要点整理

物理基礎では、まっすぐな道を進む物体の運動を扱ってきました。位置は1つの数値(座標)で表せて、速度も「正の向きか負の向きか」を符号で表すだけで済みました。しかし、ボールを斜めに投げたり、カーブする自動車を考えたりするときは、運動は平面(2次元)の中で起こります。このとき、位置・速度・加速度を「向きをもつ量」として扱う必要が出てきます。この「向きをもつ量」のことをベクトルと呼びます。

位置ベクトル

平面上に原点Oとx軸・y軸を決めると、物体の位置は原点から物体に向かって引いた矢印で表せます。この矢印を位置ベクトルと呼び、$\vec{r}$ という記号で表します。位置ベクトルはx成分とy成分に分けることができて、物体の座標が $(x, y)$ であれば、

$\vec{r} = (x, y)$

と書きます。これは「x軸方向に$x$、y軸方向に$y$だけ進んだ矢印」という意味です。

速度ベクトル

物体が時刻 $t$ から $t+\Delta t$ の間に、位置ベクトルが $\vec{r}$ から $\vec{r} + \Delta \vec{r}$ に変化したとします($\Delta \vec{r}$ は位置ベクトルの変化量を表す矢印です)。このとき、平均の速度ベクトルは

$\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

で定義されます。これは物理基礎で学んだ「速度 $=$ 変位 $\div$ 時間」を、ベクトルのまま行っただけです。$\Delta t$ を限りなく0に近づけたときの速度ベクトルを、その時刻での瞬間の速度ベクトルと呼びます。

速度ベクトルも成分に分けることができます。x座標の変化の割合をx成分の速度 $v_x$、y座標の変化の割合をy成分の速度 $v_y$ とすると、

$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}$

であり、速度ベクトルの大きさ(これを「速さ」と呼びます)は、三平方の定理を使って

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

と求められます。これは、x方向に $v_x$、y方向に $v_y$ だけ進む動きを1つの斜めの矢印にまとめたときの、その矢印の長さを求めていることに対応します。

加速度ベクトル

速度ベクトルが時刻 $t$ から $t+\Delta t$ の間に $\vec{v}$ から $\vec{v}+\Delta \vec{v}$ に変化したとき、平均の加速度ベクトルは

$\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

で定義されます。ここで大切な考え方があります。それは、加速度は「速さが変わること」だけでなく「向きが変わること」によっても生じるという点です。物理基礎の直線運動では速さの変化しか考えませんでしたが、平面運動ではカーブを曲がるだけでも(速さが一定でも)加速度が生じます。これは後で学ぶ円運動の理解で特に重要になります。

加速度ベクトルも同様に成分に分けられます。

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}, \qquad a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t}$

x方向とy方向は独立に考えられる

平面運動を考えるときの最大のコツは、x方向の運動とy方向の運動を、それぞれ別々の直線運動として計算してよいという点です。たとえば、x方向には力がはたらかず等速で進み、y方向には重力によって加速される、という運動(これは次のセクションで学ぶ放物運動そのものです)では、

$x = v_{0x} t, \qquad y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$

のように、x成分とy成分をそれぞれ物理基礎で学んだ公式にそのまま当てはめて計算できます。そして最後に、必要であれば $\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ のように成分を合成すればよいのです。

下のシミュレーションでは、初速度のx成分・y成分を変えられます。物体(青い点)の動きと、その瞬間の速度ベクトル(矢印)がどう変化するかを確認してください。速度ベクトルの矢印は、常に物体の進んでいく向きを指しています。

例題

例題1(基本)

問題

ある物体が2秒間で、位置ベクトルが $(2, 1)$ m から $(10, 7)$ m へ変化しました。この間の平均の速度ベクトルの成分と、速さを求めなさい。

解答・解説を見る

まず、位置ベクトルの変化量 $\Delta \vec{r}$ を求めます。x成分の変化は、

$\Delta x = 10 - 2 = 8 \text{ m}$

y成分の変化は、

$\Delta y = 7 - 1 = 6 \text{ m}$

平均の速度ベクトルは $\vec{v} = \dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ で定義されるので、各成分をそれぞれ $\Delta t = 2$ s で割ります。

$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{8}{2} = 4 \text{ m/s}$

$v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{6}{2} = 3 \text{ m/s}$

よって平均の速度ベクトルは $(4, 3)$ m/s です。

速さ(速度ベクトルの大きさ)は、三平方の定理を使って求めます。

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m/s}$

したがって、平均の速度ベクトルは $(4, 3)$ m/s、速さは5 m/sです。

例題2(標準)

問題

x方向に等速で進み、y方向には加速度をもつ物体があります。時刻 $t=0$ で速度は $(v_x, v_y) = (3.0, 0)$ m/s、y方向の加速度は $a_y = 2.0$ m/s²で一定です(x方向の加速度は0)。時刻 $t=4.0$ sでの速度ベクトルの成分と、そのときの速さを求めなさい。

解答・解説を見る

x方向とy方向は独立に考えることができます。

x方向の速度:x方向には加速度がはたらかないので、速度は変化しません。

$v_x = 3.0 \text{ m/s(一定)}$

y方向の速度:y方向には一定の加速度 $a_y = 2.0$ m/s² がはたらいているので、物理基礎で学んだ「$v = v_0 + at$」の関係をy成分について使います。$t=0$でのy方向の速度は0だったので、

$v_y = 0 + a_y t = 2.0 \times 4.0 = 8.0 \text{ m/s}$

よって、$t=4.0$ sでの速度ベクトルの成分は $(v_x, v_y) = (3.0, 8.0)$ m/sです。

速さは、

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{3.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{9.0 + 64.0} = \sqrt{73.0} \approx 8.5 \text{ m/s}$

したがって、速度ベクトルの成分は $(3.0, 8.0)$ m/s、速さは約8.5 m/sです。

例題3(応用)

問題

物体の速度ベクトルが、時刻 $t_1$ で $(4, 2)$ m/s、時刻 $t_2$ でわずか $\Delta t = 0.50$ s後に $(4, 5)$ m/sになりました。この間の平均の加速度ベクトルの成分と、大きさを求めなさい。また、速さは変化していないのに加速度が生じることがあるのはなぜか、簡単に説明しなさい。

解答・解説を見る

平均の加速度ベクトルは $\vec{a} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ で定義されます。まず、速度ベクトルの変化量を成分ごとに求めます。

$\Delta v_x = 4 - 4 = 0 \text{ m/s}$

$\Delta v_y = 5 - 2 = 3 \text{ m/s}$

これを $\Delta t = 0.50$ sで割ります。

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{0}{0.50} = 0 \text{ m/s}^2$

$a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t} = \frac{3}{0.50} = 6 \text{ m/s}^2$

よって、平均の加速度ベクトルの成分は $(0, 6)$ m/s²です。

大きさは、

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6 \text{ m/s}^2$

後半の説明について:この問題では速度のx成分は変わらず、y成分だけが変化しています。もし速度ベクトルの向きだけが変わって大きさ(速さ)は変わらない場合でも、ベクトルとしては変化しているので加速度は0になりません。加速度は「速さの変化」だけでなく「向きの変化」によっても生じる、ということがこの例からもわかります。この考え方は、次に学ぶ円運動(速さ一定でも向きが変わり続けるため加速度が生じる運動)を理解するうえでとても重要です。

練習問題

問題

物体の位置ベクトルが、時刻 $t=0$ sで $(0, 0)$ m、時刻 $t=3.0$ sで $(9.0, 12.0)$ mでした。この間の平均の速度ベクトルの成分と速さを求めなさい。

答え

平均の速度ベクトルの成分は $v_x = \dfrac{9.0}{3.0} = 3.0$ m/s、$v_y = \dfrac{12.0}{3.0} = 4.0$ m/sです。速さは $\sqrt{3.0^2+4.0^2} = \sqrt{9.0+16.0} = \sqrt{25} = 5.0$ m/sです。