物理 / 波動
章末問題
章末問題
問題1
問題
正弦波が $y=0.4\sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{0.8}-\dfrac{x}{3.2}\right)\right)$(単位はSI単位系)で表される。振幅 $A$、周期 $T$、波長 $\lambda$、伝わる速さ $v$ を求めよ。また、$x=0\ \mathrm{m}$、$t=0.2\ \mathrm{s}$ における変位を求めよ。
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式を $y=A\sin\left(2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)\right)$ と見比べると、$A=0.4\ \mathrm{m}$、$T=0.8\ \mathrm{s}$、$\lambda=3.2\ \mathrm{m}$。
速さは $v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{3.2}{0.8}=4\ \mathrm{m/s}$。
$x=0$、$t=0.2$ のとき、$\sin$ の中の角度は $2\pi\left(\dfrac{0.2}{0.8}-0\right)=2\pi\times0.25=\dfrac{\pi}{2}$ なので、$y=0.4\times1=0.4\ \mathrm{m}$。
答え:$A=0.4\ \mathrm{m}$、$T=0.8\ \mathrm{s}$、$\lambda=3.2\ \mathrm{m}$、$v=4\ \mathrm{m/s}$、$y=0.4\ \mathrm{m}$
問題2
問題
成分波の振幅 $A=1\ \mathrm{cm}$、波長 $\lambda=4\ \mathrm{cm}$ の定常波がある。$0\le x\le 8\ \mathrm{cm}$ の範囲での節・腹の位置と、$x=0.5\ \mathrm{cm}$ の点の振動の振幅を求めよ。
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節:$x=\dfrac{\lambda}{4}+n\dfrac{\lambda}{2}=1+2n$ より、$x=1,3,5,7\ \mathrm{cm}$。
腹:$x=n\dfrac{\lambda}{2}=2n$ より、$x=0,2,4,6,8\ \mathrm{cm}$。
$x=0.5\ \mathrm{cm}$ の振幅は $\left|2A\cos\left(\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|=\left|2\times1\times\cos\left(\dfrac{2\pi\times0.5}{4}\right)\right|=2\cos\dfrac{\pi}{4}=2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\approx1.41\ \mathrm{cm}$。
答え:節は $x=1,3,5,7\ \mathrm{cm}$、腹は $x=0,2,4,6,8\ \mathrm{cm}$、$x=0.5\ \mathrm{cm}$での振幅は約$1.41\ \mathrm{cm}$
問題3
問題
同位相で振動する2つの波源から波長 $2\ \mathrm{m}$ の波が出ている。観測点で $l_1=11\ \mathrm{m}$、$l_2=9\ \mathrm{m}$ であるとき、強め合うか弱め合うか答えよ。
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経路差 $l_1-l_2=11-9=2\ \mathrm{m}$。$\dfrac{2}{2}=1$(整数)なので、強め合う条件 $l_1-l_2=m\lambda$ を満たす。
答え:強め合う
問題4
問題
空気($n=1.0$)から屈折率 $1.6$ の媒質へ、入射角 $40°$ で光が入射した。屈折角を求めよ($\sin40°\approx0.643$ とする)。
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$\sin\theta_2=\dfrac{1.0\times\sin40°}{1.6}\approx\dfrac{0.643}{1.6}\approx0.402$。$\theta_2\approx23.7°$。
答え:約$23.7°$
問題5
問題
屈折率 $1.4$ の媒質から空気へ光が進む。臨界角を求めよ。また、入射角 $50°$ で全反射が起こるか答えよ。
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$\sin\theta_c=\dfrac{1.0}{1.4}\approx0.714$、$\theta_c\approx45.6°$。入射角 $50°$ は臨界角より大きいので、全反射が起こる。
答え:$\theta_c\approx45.6°$、全反射は起こる
問題6
問題
焦点距離 $15\ \mathrm{cm}$ の凸レンズから $45\ \mathrm{cm}$ の距離に物体を置いた。像の位置と倍率を求め、実像・虚像、正立・倒立を答えよ。
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$\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{15}$ より $\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{45}-\dfrac{1}{45}=\dfrac{2}{45}$、$b=22.5\ \mathrm{cm}$。
倍率 $m=\left|\dfrac{22.5}{45}\right|=0.5$。$b>0$ なので実像・倒立。
答え:レンズから$22.5\ \mathrm{cm}$の位置に、実像・倒立・$0.5$倍の像ができる
問題7
問題
1mmあたり400本のすじが刻まれた回折格子に、波長 $589\ \mathrm{nm}$ の光を当てた。$m=2$(2次)の明線ができる角度を求めよ。
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$d=\dfrac{1\ \mathrm{mm}}{400}=2.5\times10^{-3}\ \mathrm{mm}=2500\ \mathrm{nm}$。
$d\sin\theta=m\lambda$ より $\sin\theta=\dfrac{2\times589}{2500}=\dfrac{1178}{2500}\approx0.471$。$\theta\approx28.1°$。
答え:約$28.1°$
問題8
問題
屈折率 $1.5$ の薄膜に、波長 $480\ \mathrm{nm}$ の光を垂直に当てたとき、反射光が最も弱め合う(暗くなる)、$0$でない最小の膜の厚さを求めよ。ただし、反射のうち片方だけに半波長分のずれが起こるものとする。
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暗線条件 $2nt=m\lambda$ を使う。$0$でない最小の厚さは $m=1$ のとき。
$2\times1.5\times t=1\times480$ より $3t=480$、$t=160\ \mathrm{nm}$。
答え:$160\ \mathrm{nm}$