力学的エネルギー保存則

要点整理

前のページで、運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ について学びました。この2つを足したもの、

$E = K+U$

を力学的エネルギーと呼びます。このページでは、力学的エネルギーが持つ、とても重要な性質を学びます。

摩擦や空気抵抗がない状況で、物体に重力だけがはたらいて運動している場合を考えます(斜面や曲面を滑る場合は、面から垂直抗力も受けますが、垂直抗力は常に移動の向きに対して垂直にはたらくため、前のページで学んだとおり仕事をしません)。

このとき、物体の位置エネルギーが減れば、その分だけ運動エネルギーが増え、逆に運動エネルギーが減れば、その分だけ位置エネルギーが増える、という関係が成り立ちます。つまり、運動エネルギーと位置エネルギーは互いに移り変わるだけで、その合計は常に一定に保たれます。これを力学的エネルギー保存則と呼びます。

運動の途中のある地点1と、別の地点2について、この法則を式で表すと、

$\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2$

となります。左辺が地点1での力学的エネルギー、右辺が地点2での力学的エネルギーです。この式が成り立つのは、あくまで摩擦や空気抵抗などで力学的エネルギーが失われない場合に限られることに注意してください。摩擦がある場合は、失われた分だけ左辺の方が右辺より大きくなります(この場合の詳しい扱いは、章末問題などで確認します)。

実は、前のページの例題2・例題3で使った $mgh=\frac{1}{2}mv^2$ という関係は、力学的エネルギー保存則の特別な場合(最初は静止していて、最初の位置エネルギーがすべて運動エネルギーに変わる場合)にほかなりません。力学的エネルギー保存則は、これをどんな2地点の間にも使えるように一般化したものです。

力学的エネルギー保存則を使うメリット

坂道や曲面など、物体が複雑な軌道を描いて運動する場合、運動方程式を使って途中の速さを求めるのはとても大変です。しかし、力学的エネルギー保存則を使えば、始めの状態と終わりの状態の関係だけから、途中の道すじがどんな形であっても、速さや高さを求めることができます。これが、この法則の大きな強みです。

下のシミュレーションは、角度 $30°$ の谷型の摩擦のない斜面を、物体が行ったり来たりする様子を表しています。物体の高さが変わるにつれて、運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ の棒グラフがどう変化するか、そして $K+U$(合計)がほとんど変わらないことを確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

質量 $2\ \mathrm{kg}$ の物体を、摩擦のない滑り台の、高さ $5\ \mathrm{m}$ の地点から静かに滑らせた。力学的エネルギー保存則を使って、滑り台の下(高さ $0$)での速さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

最初の地点(高さ $5\ \mathrm{m}$、速さ $0$)と、滑り台の下(高さ $0$、速さ $v$)とで、力学的エネルギー保存則を立てます。

$\frac{1}{2}m\times 0^2+mg\times 5 = \frac{1}{2}mv^2+mg\times 0$

左辺の第1項と右辺の第2項は $0$ なので、

$mg\times 5 = \frac{1}{2}mv^2$

両辺を $m$ で割って、

$5g = \frac{1}{2}v^2$

$v^2$ について解くと、

$v^2 = 10g = 10\times 9.8 = 98$

$v = \sqrt{98} \approx 9.9\ \mathrm{m/s}$

答え:滑り台の下での速さは約 $9.9\ \mathrm{m/s}$

例題2(標準)

問題

摩擦のない曲面上を、質量 $1\ \mathrm{kg}$ の物体が運動している。高さ $10\ \mathrm{m}$ の地点で静かに動き始めたとして、高さ $4\ \mathrm{m}$ の地点での速さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

高さ $10\ \mathrm{m}$(速さ $0$)と、高さ $4\ \mathrm{m}$(速さ $v$)との間で、力学的エネルギー保存則を立てます。

$mg\times 10 = \frac{1}{2}mv^2+mg\times 4$

両辺を $m$ で割ると、

$10g = \frac{1}{2}v^2+4g$

$\dfrac{1}{2}v^2$ について解くと、

$\frac{1}{2}v^2 = 10g-4g = 6g$

$v^2 = 12g = 12\times 9.8 = 117.6$

$v = \sqrt{117.6} \approx 10.8\ \mathrm{m/s}$

答え:高さ $4\ \mathrm{m}$ の地点での速さは約 $10.8\ \mathrm{m/s}$

途中の道すじの形がわからなくても、高さの差だけがわかれば速さが求められるのが、力学的エネルギー保存則の便利なところです。

例題3(応用)

問題

摩擦のない谷型の斜面がある。谷の一番低い地点(高さ $0$)で、物体が速さ $8\ \mathrm{m/s}$ で通過した。この物体が斜面を上っていくとき、到達できる最大の高さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

解答・解説を見る

最も高く上った地点では、一瞬だけ物体は静止するので、速さは $0$ になります。谷の底(高さ $0$、速さ $8\ \mathrm{m/s}$)と、最高点(高さ $h_{max}$、速さ $0$)との間で、力学的エネルギー保存則を立てます。

$\frac{1}{2}m\times 8^2+mg\times 0 = \frac{1}{2}m\times 0^2+mg\times h_{max}$

左辺の第2項と右辺の第1項は $0$ なので、

$\frac{1}{2}\times 8^2 = g\times h_{max}$

$32 = 9.8\times h_{max}$

$h_{max} = \frac{32}{9.8} \approx 3.3\ \mathrm{m}$

答え:到達できる最大の高さは約 $3.3\ \mathrm{m}$

この結果は、鉛直投げ上げのページで学んだ最高点の公式 $h=\dfrac{v_0^2}{2g}$ に $v_0=8$ を代入した結果($h=\dfrac{64}{19.6}\approx 3.3\ \mathrm{m}$)とちょうど一致します。エネルギー保存則を使っても、運動方程式から導いた公式を使っても、同じ答えが得られることが確認できました。

練習問題

問題

質量 $50\ \mathrm{kg}$ のスケートボーダーが、摩擦のない高さ $4\ \mathrm{m}$ のランプの上から静かに滑り出した。ランプの下(高さ $0$)での速さを求めよ。$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

答え

$mg\times 4=\dfrac{1}{2}mv^2$ より $v^2=8g=78.4$、$v=\sqrt{78.4}\approx 8.9\ \mathrm{m/s}$