章末問題

最終的な速度

$v=v_0+at$ に $v_0=0$、$a=1.5$、$t=12$ を代入します。

$v = 0+1.5\times 12 = 18\ \mathrm{m/s}$

進んだ距離

$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ に同じ値を代入します。

$x = 0\times 12+\frac{1}{2}\times 1.5\times 12^2 = \frac{1}{2}\times 1.5\times 144 = 108\ \mathrm{m}$

答え:最終的な速度 $18\ \mathrm{m/s}$、進んだ距離 $108\ \mathrm{m}$

最高点に達するまでの時間

最高点では速度が $0$ になるので、$t_1=\dfrac{v_0}{g}$ に $v_0=29.4$、$g=9.8$ を代入します。

$t_1 = \frac{29.4}{9.8} = 3\ \mathrm{s}$

最高点の高さ

$h=\dfrac{v_0^2}{2g}$ に代入します。

$h = \frac{29.4^2}{2\times 9.8} = \frac{864.36}{19.6} = 44.1\ \mathrm{m}$

全体の時間

投げ上げてから最高点までと、最高点から地面までの時間は等しいので、

$2\times t_1 = 2\times 3 = 6\ \mathrm{s}$

答え:最高点までの時間 $3\ \mathrm{s}$、最高点の高さ $44.1\ \mathrm{m}$、全体の時間 $6\ \mathrm{s}$

落下時間

鉛直方向は自由落下と同じなので、$y=\dfrac{1}{2}gt^2$ に $y=19.6$ を代入します。

$19.6 = 4.9t^2 \quad\Rightarrow\quad t^2=4 \quad\Rightarrow\quad t=2\ \mathrm{s}$

水平方向の到達距離

$x = v_0t = 15\times 2 = 30\ \mathrm{m}$

着地する瞬間の速さ

$v_y=gt=9.8\times 2=19.6\ \mathrm{m/s}$、$v_x=15\ \mathrm{m/s}$ なので、

$v=\sqrt{15^2+19.6^2}=\sqrt{225+384.16}=\sqrt{609.16}\approx 24.7\ \mathrm{m/s}$

答え:落下時間 $2\ \mathrm{s}$、到達距離 $30\ \mathrm{m}$、着地の速さ 約 $24.7\ \mathrm{m/s}$

おもりにはたらく力は、重力(下向き $30\ \mathrm{N}$)、ロープAの張力(水平)、ロープBの張力($T_B$、水平から $37°$)の3つで、これらがつり合っています。

鉛直方向のつり合い

ロープBの鉛直成分だけが、重力とつり合っています。

$T_B\sin 37° = 30$

$T_B\times 0.60 = 30$

$T_B = 50\ \mathrm{N}$

水平方向のつり合い

ロープAの張力と、ロープBの水平成分がつり合っています。

$T_A = T_B\cos 37° = 50\times 0.80 = 40\ \mathrm{N}$

答え:$T_A=40\ \mathrm{N}$、$T_B=50\ \mathrm{N}$

動摩擦力を求めます。

$f' = \mu' mg = 0.25\times 4\times 9.8 = 9.8\ \mathrm{N}$

合力は、押す力から動摩擦力を引いたものです。

$F_{合力} = 20-9.8 = 10.2\ \mathrm{N}$

運動方程式 $ma=F$ に $m=4$、$F=10.2$ を代入します。

$4a = 10.2 \quad\Rightarrow\quad a = 2.55\ \mathrm{m/s^2}$

答え:加速度は $2.55\ \mathrm{m/s^2}$

仕事

力の向きと移動の向きが同じなので、

$W = Fx = 10\times 5 = 50\ \mathrm{J}$

速さ

摩擦がないので、力がした仕事はすべて運動エネルギーの変化になります。初めは静止していたので、

$W = \frac{1}{2}mv^2-0$

$50 = \frac{1}{2}\times 4\times v^2$

$50 = 2v^2$

$v^2 = 25$

$v = 5\ \mathrm{m/s}$

答え:仕事 $50\ \mathrm{J}$、速さ $5\ \mathrm{m/s}$

速さ

力学的エネルギー保存則より、

$mg\times 10 = \frac{1}{2}mv^2$

$v^2 = 20g = 20\times 9.8 = 196$

$v = \sqrt{196} = 14\ \mathrm{m/s}$

運動エネルギー

$K = \frac{1}{2}\times 3\times 196 = 294\ \mathrm{J}$

最初の位置エネルギーとの比較

$U = mgh = 3\times 9.8\times 10 = 294\ \mathrm{J}$

$K$ と $U$ が一致しました。

答え:速さ $14\ \mathrm{m/s}$、運動エネルギー $294\ \mathrm{J}$(最初の位置エネルギーと一致)

$Q=mc\Delta T$ に $m=60$、$c=0.45$、$\Delta T=80-20=60$ を代入します。

$Q = 60\times 0.45\times 60$

$Q = 27\times 60 = 1620\ \mathrm{J}$

答え:$1620\ \mathrm{J}$