熱機関と熱効率 | 高校物理まるごと解説

要点整理

熱機関のしくみ

前のページで、気体がサイクル(循環変化)を1周すると、$\Delta U = 0$となり、正味で吸収した熱量が正味でした仕事に等しくなることを学びました。この性質を利用して、繰り返し熱を仕事に変換する装置を熱機関と呼びます。自動車のエンジンや発電所のタービンなどが、その代表例です。

実際の熱機関のサイクルでは、1周の間に、ある過程では熱を吸収し(高温の熱源から熱をもらう)、別の過程では熱を放出します(低温の熱源に熱を捨てる)。1周の間に吸収した熱の合計を$Q_{in}$、放出した熱の合計(大きさ、つまり正の値)を$Q_{out}$とすると、正味で吸収した熱量は、

$Q_{net} = Q_{in} - Q_{out}$

前のページで学んだように、1周では$\Delta U=0$なので、$Q_{net}$は1周の間に気体が外部にした正味の仕事$W$に等しくなります。

$W = Q_{in} - Q_{out}$

つまり、熱機関は「高温側から受け取った熱$Q_{in}$」の一部を「仕事$W$」として取り出し、残り($Q_{out}$)を低温側に捨てている、というしくみだということが分かります。

熱効率

熱機関の性能を表す指標として、吸収した熱$Q_{in}$のうち、どれだけを仕事$W$として取り出せたかという割合を考えます。これを熱効率と呼び、記号$e$で表します。

$e = \frac{W}{Q_{in}}$

$W = Q_{in} - Q_{out}$を代入すると、次のようにも書けます。

$e = \frac{Q_{in}-Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$

熱効率は割合なので、百分率(%)で表すこともよくあります。熱効率を計算するときによくある間違いは、分母を$Q_{in}$ではなく$Q_{out}$や$Q_{net}$にしてしまうことです。分母は必ず「吸収した熱」であり、「排出した熱」ではないことをしっかり覚えておきましょう。

なお、熱力学の詳しい法則(熱力学第二法則)から、どんなに工夫しても熱機関の熱効率は$100\%$には決してならない($Q_{out}$を完全に$0$にはできない)ことが知られています。これは高校物理の範囲を超える内容ですが、興味があれば覚えておくとよいでしょう。

下のシミュレーションでは、前のページで扱った長方形のサイクルを例に、体積$V_2$を変えると、吸熱・排熱・仕事の量、そして熱効率がどのように変わるかを確認できます。

$V_2$を大きくする(サイクルを大きくする)と、熱効率がどう変化するか確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

ある熱機関が1サイクルで高温の熱源から $800\ \mathrm{J}$ の熱を吸収し、低温の熱源に $500\ \mathrm{J}$ の熱を放出した。この間に気体がした仕事$W$と、熱効率$e$を求めよ。

解答・解説を見る

仕事を求める

$W = Q_{in} - Q_{out} = 800 - 500 = 300\ \mathrm{J}$

熱効率を求める

$e = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{300}{800} = 0.375$

答え:$W = 300\ \mathrm{J}$、$e = 0.375$(すなわち $37.5\%$)

例題2(標準)

問題

ある熱機関の熱効率は$25\%$である。1サイクルで高温の熱源から $1200\ \mathrm{J}$ の熱を吸収するとき、取り出せる仕事$W$と、低温の熱源に放出する熱量$Q_{out}$を求めよ。

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仕事を求める

熱効率の式 $e = \dfrac{W}{Q_{in}}$ を$W$について解くと、$W = eQ_{in}$ です。$e=0.25$(25%)、$Q_{in}=1200$を代入すると、

$W = 0.25\times 1200 = 300\ \mathrm{J}$

放出する熱量を求める

$W = Q_{in} - Q_{out}$ を$Q_{out}$について解くと、$Q_{out} = Q_{in} - W$ です。

$Q_{out} = 1200 - 300 = 900\ \mathrm{J}$

答え:$W = 300\ \mathrm{J}$、$Q_{out} = 900\ \mathrm{J}$

例題3(応用)

問題

前のページの例題3で扱った長方形のサイクル(A→B→C→D→A、$p_1=3.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$、$p_2=1.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$、$V_1=2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$、$V_2=5.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$、気体は単原子分子理想気体)について、4つの過程それぞれで気体が吸収した熱量を求め、この熱機関の熱効率$e$を求めよ。

解答・解説を見る

各状態での圧力と体積の積$pV$(単位はJ)を先に求めておくと見通しがよくなります。単原子分子理想気体では、$pV = nRT$ より $\Delta U = \dfrac{3}{2}nR\Delta T = \dfrac{3}{2}\Delta(pV)$ という関係が、どんな2状態の間でも成り立つことを利用します。

$pV_A = 3.0\times10^{5}\times2.0\times10^{-3} = 600, \quad pV_B = 3.0\times10^{5}\times5.0\times10^{-3} = 1500$

$pV_C = 1.0\times10^{5}\times5.0\times10^{-3} = 500, \quad pV_D = 1.0\times10^{5}\times2.0\times10^{-3} = 200$

A→B(定圧膨張)

$W_{by} = p_1(V_2-V_1) = 3.0\times10^{5}\times3.0\times10^{-3} = 900\ \mathrm{J}$

$\Delta U = \frac{3}{2}(pV_B - pV_A) = \frac{3}{2}(1500-600) = 1350\ \mathrm{J}$

$Q_{AB} = \Delta U + W_{by} = 1350 + 900 = 2250\ \mathrm{J}\quad(吸収)$

B→C(定積・降圧)

$W_{by} = 0, \qquad \Delta U = \frac{3}{2}(pV_C-pV_B) = \frac{3}{2}(500-1500) = -1500\ \mathrm{J}$

$Q_{BC} = -1500 + 0 = -1500\ \mathrm{J}\quad(放出)$

C→D(定圧圧縮)

$W_{by} = p_2(V_1-V_2) = 1.0\times10^{5}\times(-3.0\times10^{-3}) = -300\ \mathrm{J}$

$\Delta U = \frac{3}{2}(pV_D-pV_C) = \frac{3}{2}(200-500) = -450\ \mathrm{J}$

$Q_{CD} = -450 + (-300) = -750\ \mathrm{J}\quad(放出)$

D→A(定積・昇圧)

$W_{by} = 0, \qquad \Delta U = \frac{3}{2}(pV_A-pV_D) = \frac{3}{2}(600-200) = 600\ \mathrm{J}$

$Q_{DA} = 600 + 0 = 600\ \mathrm{J}\quad(吸収)$

$Q_{in}$、$Q_{out}$、熱効率をまとめる

熱を吸収したのはA→BとD→Aの過程なので、

$Q_{in} = 2250 + 600 = 2850\ \mathrm{J}$

熱を放出したのはB→CとC→Dの過程なので、その大きさの合計は、

$Q_{out} = 1500 + 750 = 2250\ \mathrm{J}$

仕事は $W = Q_{in}-Q_{out} = 2850-2250 = 600\ \mathrm{J}$ となり、前のページで面積から求めた値と一致します。熱効率は、

$e = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{600}{2850} \approx 0.211$

答え:$Q_{in}=2850\ \mathrm{J}$、$Q_{out}=2250\ \mathrm{J}$、$W=600\ \mathrm{J}$、$e\approx21\%$

内部エネルギーの変化を全部足すと $1350-1500-450+600=0$ となり、確かに1周でもとに戻っていることも確認できます。

練習問題

問題

ある熱機関が1サイクルで $1000\ \mathrm{J}$ の熱を吸収し、$150\ \mathrm{J}$ の仕事をした。この熱機関が低温の熱源に放出した熱量$Q_{out}$と、熱効率$e$を求めよ。

答え

$Q_{out} = Q_{in}-W = 1000-150 = 850\ \mathrm{J}$、$e = \dfrac{W}{Q_{in}} = \dfrac{150}{1000} = 0.15$($15\%$)