物理 / 電気と磁気
直流回路とキルヒホッフの法則
要点整理
なぜキルヒホッフの法則が必要なのか
物理基礎では、抵抗を直列につないだときの合成抵抗 $R = R_1+R_2$ や、並列につないだときの合成抵抗 $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$ を学びました。しかし、回路の中に電池が2つ以上あったり、抵抗のつながり方が単純な直列・並列に分解できなかったりする場合、この方法だけでは電流を求めることができません。
そこで使われるのが、キルヒホッフの法則です。これは2つの法則からなり、どちらも私たちがすでに知っている自然の基本原理を、回路という具体的な場面に当てはめたものにすぎません。
キルヒホッフの第一法則(電流則)
回路の中で、導線が3本以上集まっている点を分岐点と呼びます。キルヒホッフの第一法則は、次のように述べられます。
分岐点に流れ込む電流の合計は、その分岐点から流れ出る電流の合計に等しい。
$\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$
この法則の中身は、実は電気量保存の法則(電荷は生まれたり消えたりしない)そのものです。もし流れ込む電流の合計と流れ出る電流の合計が違っていたら、その分岐点に電荷がどんどんたまり続けてしまいます。実際にはそのようなことは起こらないので、この法則が成り立ちます。
キルヒホッフの第二法則(電圧則)
回路の中で、導線をたどっていくと出発点に戻ってくる経路のことを閉回路(ループ)と呼びます。キルヒホッフの第二法則は、次のように述べられます。
1つの閉回路を一周するとき、その中にある起電力の合計は、その中にある抵抗による電圧降下(IRの合計)に等しい。
$\sum E = \sum IR$
この法則の中身は、エネルギー保存の法則です。電荷が閉回路を一周してもとの位置に戻ってくるとき、電位はもとの値に戻っているはずです。電池による電位の上昇分(起電力)の合計と、抵抗を通るときの電位の下降分($IR$)の合計は、ちょうど釣り合っていなければなりません。
解き方の手順
キルヒホッフの法則を使って回路の電流を求める手順は、次のとおりです。
- **それぞれの導線を流れる電流に、記号と向きを自分で決めて書き込む。**向きは実際と逆でもかまいません。計算した結果が負の値になれば、実際の電流の向きは自分が決めた向きと逆だったということです。
- 分岐点で第一法則の式を立てる。 分岐点が複数ある場合でも、独立な式は「分岐点の数マイナス1」個だけです。
- 閉回路を選び、第二法則の式を立てる。 一周する向きを決め、その向きに沿って電位が上がるか下がるかを1つずつ確認しながら式を作ります。起電力は、電池の中を電流が(自分で決めた向きに沿って)$-$極から$+$極へ通り抜けるときに $+E$、逆向きに通り抜けるときに $-E$ とします。抵抗の電圧降下は、自分で決めた電流の向きと一周する向きが同じなら $-IR$(電位が下がる)、逆なら $+IR$(電位が上がる)として式に入れます。
- 連立方程式を解いて、電流を求める。
例題
例題1(基本)
問題 起電力 $E = 10\,\text{V}$、内部抵抗 $r = 1\,\Omega$ の電池に、抵抗 $R = 4\,\Omega$ をつないだ。回路に流れる電流 $I$ と、抵抗 $R$ にかかる電圧を求めよ。
解答・解説を見る
これは1つの閉回路だけからなる回路なので、第二法則を直接使います。回路を一周すると、電池による起電力 $E$ の分だけ電位が上がり、内部抵抗 $r$ と外部抵抗 $R$ を通るときにそれぞれ電圧降下があります。
$E = Ir + IR = I(r+R)$
数値を代入します。
$10 = I(1+4) = 5I$
$I = 2\,\text{A}$
抵抗 $R$ にかかる電圧は、オームの法則 $V=IR$ より、
$V_R = IR = 2 \times 4 = 8\,\text{V}$
検算として、内部抵抗での電圧降下は $V_r = Ir = 2\times1=2\,\text{V}$ であり、$V_R+V_r=8+2=10\,\text{V}=E$ となって一致します。
答え: $I = 2\,\text{A}$, $V_R = 8\,\text{V}$
例題2(標準)
問題 ある分岐点に、電流 $I_1 = 2\,\text{A}$ と $I_2 = 3\,\text{A}$ が流れ込んでいる。この分岐点からは電流 $I_3$ と $I_4$ が流れ出ており、$I_3 = 4I_4$ という関係がある。$I_3$ と $I_4$ を求めよ。
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キルヒホッフの第一法則より、流れ込む電流の合計と流れ出る電流の合計は等しいので、
$I_1 + I_2 = I_3 + I_4$
数値を代入します。
$2 + 3 = I_3 + I_4$
$I_3 + I_4 = 5$
ここに、与えられた関係式 $I_3 = 4I_4$ を代入します。
$4I_4 + I_4 = 5$
$5I_4 = 5$
$I_4 = 1\,\text{A}$
これを $I_3 = 4I_4$ に代入すると、
$I_3 = 4 \times 1 = 4\,\text{A}$
答え: $I_3 = 4\,\text{A}$, $I_4 = 1\,\text{A}$
例題3(応用)
問題 図のように、2つの電池と3つの抵抗からなる回路がある。起電力 $E_1=9\,\text{V}$ の電池と抵抗 $R_1=1\,\Omega$ が直列になった枝、起電力 $E_2=6\,\text{V}$ の電池と抵抗 $R_2=1\,\Omega$ が直列になった枝、そして抵抗 $R_3=1\,\Omega$ だけの枝が、すべて共通の2点AB間に並列につながれている。それぞれの電池の内部抵抗は無視できるものとする。$R_1$ を流れる電流を $I_1$、$R_2$ を流れる電流を $I_2$、$R_3$ を流れる電流を $I_3$ とし、$I_1,I_2$ は点Aに向かって流れ込み、$I_3$ は点Aから流れ出る向きを正とする。それぞれの電流を求めよ。
解答・解説を見る
分岐点での式(第一法則)
点Aでは、$I_1$ と $I_2$ が流れ込み、$I_3$ が流れ出るので、
$I_1 + I_2 = I_3 \quad \cdots ①$
閉回路での式(第二法則)
$E_1$ の枝と $R_3$ の枝でできる閉回路を考えます。この閉回路を、電池$E_1$の中を$-$極から$+$極へ進む向きに一周すると、起電力 $E_1$ の分だけ電位が上がり、$R_1$ と $R_3$ を電流の向きに沿って通るときにそれぞれ電圧降下があります。
$E_1 = I_1R_1 + I_3R_3 \quad \cdots ②$
同様に、$E_2$ の枝と $R_3$ の枝でできる閉回路を考えると、
$E_2 = I_2R_2 + I_3R_3 \quad \cdots ③$
数値を代入する
②式に $E_1=9, R_1=1, R_3=1$ を代入します。
$9 = I_1 \times 1 + I_3 \times 1 = I_1 + I_3 \quad \cdots ②'$
③式に $E_2=6, R_2=1, R_3=1$ を代入します。
$6 = I_2 \times 1 + I_3 \times 1 = I_2 + I_3 \quad \cdots ③'$
②'より $I_1 = 9-I_3$、③'より $I_2 = 6-I_3$ です。これらを①式に代入します。
$(9-I_3) + (6-I_3) = I_3$
左辺を整理すると、
$15 - 2I_3 = I_3$
$15 = 3I_3$
$I_3 = 5\,\text{A}$
これを②', ③'に代入します。
$I_1 = 9 - 5 = 4\,\text{A}$
$I_2 = 6 - 5 = 1\,\text{A}$
検算
①式: $I_1+I_2 = 4+1=5=I_3$ ✓
②式: $I_1R_1+I_3R_3 = 4\times1+5\times1=9=E_1$ ✓
③式: $I_2R_2+I_3R_3 = 1\times1+5\times1=6=E_2$ ✓
答え: $I_1 = 4\,\text{A}$, $I_2 = 1\,\text{A}$, $I_3 = 5\,\text{A}$
練習問題
問題 例題3と同じつなぎ方の回路で、$E_1=10\,\text{V}$, $R_1=2\,\Omega$, $E_2=6\,\text{V}$, $R_2=2\,\Omega$, $R_3=1\,\Omega$ とする。$I_1,I_2$ は点Aに流れ込み、$I_3$ は点Aから流れ出る向きを正として、それぞれの電流を求めよ。
答え
第一法則: $I_1+I_2=I_3$
第二法則: $10=2I_1+I_3$, $6=2I_2+I_3$
これらを解くと、$I_1=3\,\text{A}$, $I_2=1\,\text{A}$, $I_3=4\,\text{A}$