自己誘導・相互誘導

要点整理

自己誘導

コイルに電流を流すと、そのコイル自身を貫く磁束ができます。もし、この電流の大きさが時間とともに変化すると、それにともなってコイルを貫く磁束も変化します。前の単元で学んだファラデーの法則は「コイルを貫く磁束が変化すれば起電力が生じる」という法則だったので、電流を流しているコイル自身にも、この磁束の変化によって起電力が生じることになります。この現象を自己誘導と呼びます。

自己誘導によって生じる起電力の大きさは、電流の変化の割合 $\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ に比例します。これは、電流が変化する割合が大きいほど、磁束が変化する割合も大きくなるためです。この比例関係を式で表すと、

$V = L\left|\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\right|$

となります。比例定数 $L$ を自己インダクタンスと呼び、単位はヘンリー(記号H)です。自己インダクタンス $L$ は、コイルの巻き数や形、太さなど、コイル自体の形状によって決まる量です。

レンツの法則により、自己誘導で生じる起電力は、常に電流の変化を妨げる向きに生じます。つまり、電流を増やそうとすると、それを妨げる(電流を減らそうとする)向きに起電力が生じ、電流を減らそうとすると、それを妨げる(電流を保とうとする)向きに起電力が生じます。この性質のため、コイルに流れる電流は急激には変化しにくいという特徴があります。

コイルにたくわえられるエネルギー

コイルに電流を流すためには、自己誘導による起電力に逆らって電流を流し込む仕事が必要です。この仕事は、コイルの中に磁場のエネルギーとしてたくわえられます。自己インダクタンス $L$ のコイルに電流 $I$ が流れているとき、たくわえられているエネルギー $U$ は、次の式で表されます。

$U = \dfrac{1}{2}LI^2$

この式は、コンデンサーにたくわえられるエネルギーの式 $U=\dfrac{1}{2}CV^2$ と形がよく似ています。コンデンサーが電場の形でエネルギーをたくわえるのに対して、コイルは磁場の形でエネルギーをたくわえる、という対応関係になっています。

相互誘導

2つのコイルを、互いに磁束の影響を受け合うくらい近くに置いたとします。この状態で、一方のコイル(コイル1)に流れる電流を変化させると、コイル1がつくる磁束が変化し、その磁束の一部がもう一方のコイル(コイル2)も貫いているため、コイル2にも誘導起電力が生じます。この現象を相互誘導と呼びます。

コイル1の電流 $I_1$ が変化する割合を $\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}$ とすると、コイル2に生じる誘導起電力の大きさは、次の式で表されます。

$V_2 = M\left|\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}\right|$

比例定数 $M$ を相互インダクタンスと呼び、単位はヘンリー(H)です。$M$ は、2つのコイルの巻き数や形、位置関係、そして距離によって決まる量です。

変圧器

相互誘導を利用した代表的な装置が変圧器です。変圧器は、共通の鉄心に、巻き数 $N_1$ の一次コイルと巻き数 $N_2$ の二次コイルを巻きつけた構造をしています。一次コイルに交流電圧 $V_1$ をかけると、一次コイルに流れる交流電流によって変化する磁束が鉄心を通って二次コイルを貫き、二次コイルに交流の誘導起電力 $V_2$ が生じます。

損失のない理想的な変圧器では、電圧の比は巻き数の比に等しくなります。

$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$

また、理想的な変圧器ではエネルギーが保存されるため、一次側で消費される電力と二次側で消費される電力は等しくなります。

$V_1 I_1 = V_2 I_2$

この2つの式から、電流の比は巻き数の比の逆数になることが分かります。

$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$

例題

例題1(基本)

問題 自己インダクタンス $L=0.50\,\text{H}$ のコイルに流れる電流が、$\Delta t=0.30\,\text{s}$ の間に $I_1=4.0\,\text{A}$ から $I_2=1.0\,\text{A}$ まで変化した。このとき生じる自己誘導起電力の大きさを求めよ。

解答・解説を見る

電流の変化量を求めます。

$\Delta I = I_2 - I_1 = 1.0 - 4.0 = -3.0\,\text{A}$

大きさだけを考えるので、$|\Delta I|=3.0\,\text{A}$ です。自己誘導起電力の式 $V=L\left|\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\right|$ に数値を代入します。

$V = 0.50\times\dfrac{3.0}{0.30} = 0.50\times10 = 5.0\,\text{V}$

答え: $V = 5.0\,\text{V}$

例題2(標準)

問題 自己インダクタンス $L=0.20\,\text{H}$ のコイルに $I=3.0\,\text{A}$ の電流が流れているときにたくわえられているエネルギーを求めよ。また、電流が $I=6.0\,\text{A}$ まで増加したときのエネルギーと、その増加量を求めよ。

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$I=3.0\,\text{A}$ のときのエネルギー

エネルギーの式 $U=\dfrac{1}{2}LI^2$ に数値を代入します。

$U_1 = \dfrac{1}{2}\times0.20\times(3.0)^2 = 0.5\times0.20\times9.0 = 0.90\,\text{J}$

$I=6.0\,\text{A}$ のときのエネルギー

$U_2 = \dfrac{1}{2}\times0.20\times(6.0)^2 = 0.5\times0.20\times36 = 3.6\,\text{J}$

エネルギーの増加量

$\Delta U = U_2 - U_1 = 3.6 - 0.90 = 2.7\,\text{J}$

答え: $U_1=0.90\,\text{J}$, $U_2=3.6\,\text{J}$, 増加量 $2.7\,\text{J}$

例題3(応用)

問題 一次コイルの巻き数 $N_1=800$、二次コイルの巻き数 $N_2=200$ の理想的な変圧器がある。一次コイルに $V_1=100\,\text{V}$ の交流電圧をかけたとき、二次コイルに生じる電圧 $V_2$ を求めよ。また、二次コイルから抵抗の負荷に $I_2=4.0\,\text{A}$ の電流を流すとき、一次コイルに流れる電流 $I_1$ を求めよ。

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二次電圧を求める

変圧器の電圧比の式 $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{N_1}{N_2}$ を、$V_2$ について解きます。

$V_2 = V_1\times\dfrac{N_2}{N_1} = 100\times\dfrac{200}{800} = 100\times0.25 = 25\,\text{V}$

一次電流を求める

理想的な変圧器では電力が保存されるので、$V_1I_1=V_2I_2$ が成り立ちます。これを $I_1$ について解きます。

$I_1 = \dfrac{V_2 I_2}{V_1} = \dfrac{25\times4.0}{100} = \dfrac{100}{100} = 1.0\,\text{A}$

検算: $\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{N_2}{N_1}$ の関係からも、$I_1 = I_2\times\dfrac{N_2}{N_1}=4.0\times0.25=1.0\,\text{A}$ となり、一致します。

答え: $V_2=25\,\text{V}$, $I_1=1.0\,\text{A}$

練習問題

問題 相互インダクタンス $M=0.10\,\text{H}$ の2つのコイルがある。コイル1の電流が、$\Delta t=0.20\,\text{s}$ の間に $2.0\,\text{A}$ から $8.0\,\text{A}$ まで変化した。コイル2に生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

答え

$\Delta I_1 = 8.0-2.0=6.0\,\text{A}$

$V_2=M\left|\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t}\right|=0.10\times\dfrac{6.0}{0.20}=0.10\times30=3.0\,\text{V}$