章末問題

気体分子運動論の式 $pV = \dfrac{1}{3}Nm\overline{v^2}$ を使います。

$Nm\overline{v^2} = 6.0\times10^{23}\times4.0\times10^{-26}\times3.0\times10^{5}$

数字の部分は $6.0\times4.0\times3.0 = 72$、10の累乗の部分は $10^{23-26+5}=10^{2}$ なので、

$Nm\overline{v^2} = 72\times10^{2} = 7200$

$pV = \frac{1}{3}\times7200 = 2400$

$p = \frac{2400}{2.0\times10^{-2}} = 1.2\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

答え:$p = 1.2\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

状態方程式 $pV=nRT$ を$V$について解くと、$V = \dfrac{nRT}{p}$ です。

$nRT = 0.20\times8.3\times273$

$0.20\times8.3 = 1.66$、これに$273$をかけて $nRT \approx 453.2$ です。

$V = \frac{453.2}{1.0\times10^{5}} \approx 4.5\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$

答え:$V \approx 4.5\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$

熱を吸収したので $Q=+80\ \mathrm{J}$。気体が外部にした仕事が$30\ \mathrm{J}$なので、「気体が外部からされた仕事」は $W=-30\ \mathrm{J}$ です。

$\Delta U = Q+W = 80+(-30) = 50\ \mathrm{J}$

答え:$\Delta U = 50\ \mathrm{J}$

定積変化では $Q = nC_V\Delta T$、$C_V = \dfrac{3}{2}R$ です。

$C_V = \frac{3}{2}\times8.3 = 12.45\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$

$Q = 1.0\times12.45\times30 = 373.5\ \mathrm{J}$

答え:$Q = 373.5\ \mathrm{J}$(約 $3.7\times10^{2}\ \mathrm{J}$)

定圧変化の仕事の式 $W_{by}=p\Delta V$ を使います。

$W_{by} = 2.0\times10^{5}\times1.0\times10^{-3} = 200\ \mathrm{J}$

答え:$W_{by} = 200\ \mathrm{J}$

断熱変化なので $Q=0$、よって $\Delta U = W$ です。$W=+50\ \mathrm{J}$(外部からされた仕事)なので、

$\Delta U = 50\ \mathrm{J}$

内部エネルギーが増加しているので、温度は上がる。

答え:$\Delta U = 50\ \mathrm{J}$、温度は上昇する

$W = Q_{in}-Q_{out} = 500-350 = 150\ \mathrm{J}$

$e = \frac{W}{Q_{in}} = \frac{150}{500} = 0.30$

答え:$W=150\ \mathrm{J}$、$e=0.30$(すなわち $30\%$)

(1) 体積比を求める

圧力が一定なので、シャルルの法則 $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ より、$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{T_2}{T_1}$ が成り立ちます。

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

(2) 仕事を求める

定圧変化では $p\Delta V = nR\Delta T$ が成り立つので、これがそのまま気体がした仕事になります。$\Delta T = 400-300=100\ \mathrm{K}$ より、

$W_{by} = nR\Delta T = 1.0\times8.3\times100 = 830\ \mathrm{J}$

答え:(1) $V_2/V_1 \approx 1.33$ (2) $W_{by}=830\ \mathrm{J}$