加速度とv-tグラフ

要点整理

前のページでは、物体の位置の変化を表す「速度」について学びました。このページでは、速度そのものがどれくらいの割合で変化しているかを表す加速度について学びます。

加速度の定義

速度が時間とともにどれだけ変化するかを表す量が加速度です。時間 $\Delta t$ の間に速度が $\Delta v$ だけ変化したとき、加速度 $a$ は次の式で定義されます。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

加速度の単位は $\mathrm{m/s^2}$(メートル毎秒毎秒)です。これは「1秒間に速度が何 $\mathrm{m/s}$ 変化するか」を表しています。たとえば $a = 3\ \mathrm{m/s^2}$ であれば、1秒たつごとに速度が $3\ \mathrm{m/s}$ ずつ増えていくことを意味します。

加速度にも向きがあります。速度が増えていく場合だけでなく、減っていく場合(減速)にも加速度は存在し、この場合は加速度の符号が速度と逆向きになります。

このページでは、加速度の大きさと向きが常に一定である運動、すなわち等加速度直線運動を扱います。

v-tグラフの傾きと面積

速度 $v$ を縦軸に、時刻 $t$ を横軸にとったグラフをv-tグラフと呼びます。等加速度直線運動のv-tグラフは、速度が一定の割合で変化するので、直線になります。このグラフには、次の2つの重要な意味があります。

• グラフの傾き = 加速度:傾きは「縦軸の変化量 ÷ 横軸の変化量」、つまり $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ ですから、これはまさに加速度の定義そのものです。
• グラフとt軸で囲まれた部分の面積 = 移動距離(変位):速度は「単位時間あたりに進む距離」なので、短い時間 $\Delta t$ の間に進む距離は、その瞬間の速度とほぼ $v \times \Delta t$ となり、これはグラフ上の細長い長方形の面積にあたります。これを運動全体にわたって足し合わせたものが、グラフ全体の面積になります。

等加速度直線運動の3つの公式

初速度(時刻 $t=0$ での速度)を $v_0$、加速度を $a$ とします。時刻 $t$ における速度 $v$ は、加速度の定義 $a = \dfrac{v-v_0}{t}$ を $v$ について解くことで求められます。

$v = v_0 + at \quad \text{(式1)}$

次に、時刻 $t$ までの変位 $x$ を求めます。v-tグラフは、$v_0$ から $v$ まで一定の割合で変化する直線なので、時刻 $0$ から $t$ までの間の平均の速度は、最初と最後の速度の平均、つまり $\dfrac{v_0+v}{2}$ になります。変位は「平均の速度 × 時間」で求められるので、

$x = \frac{v_0+v}{2}\times t$

ここに式1の $v = v_0+at$ を代入すると、

$x = \frac{v_0+(v_0+at)}{2}\times t = \frac{2v_0+at}{2}\times t$

これを整理すると、

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \quad \text{(式2)}$

最後に、時間 $t$ を含まない形の式を作ります。式1を $t$ について解くと $t = \dfrac{v-v_0}{a}$ となるので、これを式2に代入します。

$x = v_0\cdot\frac{v-v_0}{a} + \frac{1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2$

右辺を通分して整理すると、

$x = \frac{2v_0(v-v_0) + (v-v_0)^2}{2a} = \frac{(v-v_0)\{2v_0+(v-v_0)\}}{2a} = \frac{(v-v_0)(v+v_0)}{2a} = \frac{v^2-v_0^2}{2a}$

両辺に $2a$ をかけると、

$v^2 - v_0^2 = 2ax \quad \text{(式3)}$

この3つの式は、等加速度直線運動であればいつでも使える基本公式です。問題ごとに「何が与えられていて、何を求めたいか」を確認し、時間 $t$ が関係しない問題では式3を、それ以外では式1・式2を使う、というように使い分けます。

下のシミュレーションで、初速度と加速度を変えながら、v-tグラフの形と、色をつけた部分の面積(移動距離)がどう変わるか確認してみましょう。

例題

例題1(基本)

問題

速さ $5\ \mathrm{m/s}$ で走っていた自転車が、一定の加速度で加速し、$5\ \mathrm{s}$ 後に $20\ \mathrm{m/s}$ になった。この間の加速度と、進んだ距離を求めよ。

解答・解説を見る

加速度

加速度の定義 $a = \dfrac{v-v_0}{t}$ に、$v=20$、$v_0=5$、$t=5$ を代入します。

$a = \frac{20-5}{5} = \frac{15}{5} = 3\ \mathrm{m/s^2}$

進んだ距離

式2 $x = v_0 t + \dfrac{1}{2}at^2$ に、$v_0=5$、$a=3$、$t=5$ を代入します。

$x = 5\times 5 + \frac{1}{2}\times 3\times 5^2$

右辺を順番に計算します。

$x = 25 + \frac{1}{2}\times 3\times 25 = 25 + 37.5 = 62.5\ \mathrm{m}$

答え:加速度 $3\ \mathrm{m/s^2}$、進んだ距離 $62.5\ \mathrm{m}$

例題2(標準)

問題

速さ $10\ \mathrm{m/s}$ で動いていた物体が、大きさ $2\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で減速し始めた。減速し始めてから $4\ \mathrm{s}$ 後の速度と、その間に進んだ距離を求めよ。

解答・解説を見る

減速なので、加速度は速度と逆向き、つまり $a=-2\ \mathrm{m/s^2}$ とおきます。

4秒後の速度

式1 $v=v_0+at$ に、$v_0=10$、$a=-2$、$t=4$ を代入します。

$v = 10 + (-2)\times 4 = 10 - 8 = 2\ \mathrm{m/s}$

進んだ距離

式2 $x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ に、同じ値を代入します。

$x = 10\times 4 + \frac{1}{2}\times(-2)\times 4^2$

右辺を順番に計算します。

$x = 40 + \frac{1}{2}\times(-2)\times 16 = 40 - 16 = 24\ \mathrm{m}$

答え:4秒後の速度は $2\ \mathrm{m/s}$、進んだ距離は $24\ \mathrm{m}$

例題3(応用)

問題

速さ $30\ \mathrm{m/s}$ で走っていた電車が、ブレーキをかけて一定の加速度で減速し、$225\ \mathrm{m}$ 進んだところで停止した。このときの加速度の大きさと、停止するまでにかかった時間を求めよ。

解答・解説を見る

時間が与えられておらず、時間を求める必要もあるので、まずは時間を含まない式3を使って加速度を求めます。

式3 $v^2-v_0^2=2ax$ に、停止したときの速度 $v=0$、初速度 $v_0=30$、$x=225$ を代入します。

$0^2 - 30^2 = 2\times a\times 225$

左辺を計算すると、

$-900 = 450a$

両辺を $450$ で割ると、

$a = -2\ \mathrm{m/s^2}$

マイナスの符号は、速度と逆向き(減速の向き)であることを表しています。

次に、式1 $v=v_0+at$ を使って時間を求めます。$v=0$、$v_0=30$、$a=-2$ を代入すると、

$0 = 30 + (-2)\times t$

これを $t$ について解くと、

$2t = 30$

$t = 15\ \mathrm{s}$

答え:加速度の大きさは $2\ \mathrm{m/s^2}$(進行方向と逆向き)、停止するまでにかかった時間は $15\ \mathrm{s}$

練習問題

問題

静止していた物体が、大きさ $4\ \mathrm{m/s^2}$ の加速度で等加速度直線運動を始めた。$6\ \mathrm{s}$ 後の速度と、その間に進んだ距離を求めよ。

答え

速度:$v=0+4\times 6=24\ \mathrm{m/s}$

距離:$x=0\times 6+\dfrac{1}{2}\times 4\times 6^2=72\ \mathrm{m}$