波の干渉と回折

要点整理

干渉が起こるしくみ

2つの波源 $S_1$、$S_2$ が、まったく同じタイミングで(同位相で)振動しながら、同じ振幅・波長・周期の波を送り出しているとします。この2つの波が、ある観測点 $P$ で重なり合うとき、$P$ での波の強さは、$S_1$、$S_2$ からの距離によって変わります。

$S_1$ から $P$ までの距離を $l_1$、$S_2$ から $P$ までの距離を $l_2$ とします。波源では同時に山を送り出していても、$P$ までの道のりの長さが違えば、$P$ に届く時刻(位相)がずれます。この道のりの差 $l_1-l_2$ を「経路差」と呼びます。

• 経路差がちょうど波長の整数倍($0,\ \lambda,\ 2\lambda,\ \ldots$)のとき、2つの波は $P$ で「山と山」「谷と谷」のように同じ状態で重なるので、強め合います。
• 経路差が波長の整数倍から半波長ずれている($\dfrac{\lambda}{2},\ \dfrac{3\lambda}{2},\ \ldots$)とき、2つの波は $P$ で「山と谷」のように逆の状態で重なるので、弱め合います。

これを式でまとめると、次のようになります。

$\text{強め合う条件}\quad l_1-l_2 = m\lambda\quad(m=0,\pm1,\pm2,\ldots)$

$\text{弱め合う条件}\quad l_1-l_2 = \left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda\quad(m=0,\pm1,\pm2,\ldots)$

($m$ は整数であればよく、負の値も含みます。どちらの波源に近いかによって、$l_1-l_2$ の符号は変わります。)

回折

波がすき間(スリット)や障害物のはしを通過するとき、まっすぐ進まずに、すき間の奥や障害物の裏側にまで回り込んで広がっていく現象を「回折」といいます。回折のようすは、波長とすき間の幅の大小関係で変わります。

• すき間の幅が波長に比べて大きいとき:回折はあまり目立たず、波はほぼ直進します。
• すき間の幅が波長と同じくらいか、それより小さいとき:回折が目立ち、波は大きく広がります。

たとえば、音の波長は数十cm〜数mと大きいため、ドアのすき間くらいの幅でも回折して聞こえてきます。一方、光の波長は $1\ \mu\mathrm{m}$ よりずっと小さいため、日常のすき間では回折はほとんど目立ちませんが、ヤングの実験のように非常に細いスリットを使うと、光の回折・干渉をはっきり観測できます(この単元の後半で学びます)。

下のシミュレーションは、2つの波源から広がる円形の波を表しています。青とオレンジは山と谷、白っぽく見える部分は弱め合っている(振動がほとんど打ち消されている)ところです。

例題

例題1(基本)

問題

同位相で振動する2つの波源 $S_1$、$S_2$ があり、波長 $\lambda=2\ \mathrm{m}$ の波を送り出している。観測点 $P$ について、$S_1$ から $P$ までの距離が $10\ \mathrm{m}$、$S_2$ から $P$ までの距離が $8\ \mathrm{m}$ であるとき、$P$ では強め合うか弱め合うか答えよ。

解答・解説を見る

経路差を計算します。

$l_1-l_2 = 10-8 = 2\ \mathrm{m}$

これが波長の何倍かを調べます。

$\frac{l_1-l_2}{\lambda} = \frac{2}{2} = 1$

整数(この場合は $1$)になったので、強め合う条件 $l_1-l_2=m\lambda$ を満たします($m=1$)。

答え:強め合う

例題2(標準)

問題

同位相で振動する2つの波源から波長 $3\ \mathrm{m}$ の波が出ている。観測点 $Q$ で、$l_1=15\ \mathrm{m}$、$l_2=10.5\ \mathrm{m}$ であるとき、$Q$ では強め合うか弱め合うか答えよ。

解答・解説を見る

経路差は、

$l_1-l_2 = 15-10.5 = 4.5\ \mathrm{m}$

波長の何倍かを調べます。

$\frac{4.5}{3} = 1.5 = 1+\frac{1}{2}$

整数 $+\dfrac{1}{2}$ の形になったので、弱め合う条件 $l_1-l_2=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ を満たします($m=1$)。

答え:弱め合う

例題3(応用)

問題

同位相で振動する2つのスピーカー $S_1$、$S_2$ が、$5\ \mathrm{m}$離れて置かれている。波長 $\lambda=1\ \mathrm{m}$ の音を出しているとき、$S_1$ の真上 $12\ \mathrm{m}$ の点 $P$(図のように、$S_1$、$S_2$、$P$ が直角三角形をつくる位置)では、音は強め合うか弱め合うか調べよ。

解答・解説を見る

$S_1$ の真上にある点 $P$ までの距離は、そのまま

$l_1 = 12\ \mathrm{m}$

$S_2$ から $P$ までの距離は、$S_1$-$S_2$間の距離 $5\ \mathrm{m}$ と $S_1$-$P$間の距離 $12\ \mathrm{m}$ が直角に交わっているとみなせるので、三平方の定理を使います。

$l_2 = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{m}$

経路差は、

$|l_1-l_2| = |12-13| = 1\ \mathrm{m}$

波長で割ると、

$\frac{1}{1} = 1$

整数になったので、強め合う条件を満たします。

答え:強め合う

練習問題

問題

同位相で振動する2つの波源から波長 $0.5\ \mathrm{m}$ の波が出ている。観測点で $l_1=7.0\ \mathrm{m}$、$l_2=7.75\ \mathrm{m}$ であるとき、強め合うか弱め合うか答えよ。

答え

経路差 $|l_1-l_2|=0.75\ \mathrm{m}$。$\dfrac{0.75}{0.5}=1.5=1+\dfrac{1}{2}$ なので、弱め合う。