慣性力と遠心力

要点整理

電車が急発進すると、乗っている人は進行方向と逆向きに体が引っ張られるように感じます。しかし、電車の外(地面)に立っている人から見ると、その人には何も力が加わっておらず、単に電車の床との摩擦力によって前に加速させられているだけです。このように、観測者がどこに立っているか(どのような立場で運動を見るか)によって、はたらいている力の見え方が変わることがあります。この節では、加速している観測者の立場で運動を考えるときに必要になる「見かけの力」について学びます。

慣性系と非慣性系

ニュートンの運動の法則(運動方程式 $ma=F$)がそのまま成り立つ観測者の立場を慣性系と呼びます。静止している観測者や、一定の速度で動いている観測者は慣性系です。物理基礎や、これまでのセクションで運動方程式を使ってきたのは、すべて慣性系(たとえば地面に静止した観測者)から見た運動を考えていたからです。

一方、加速度をもって動いている観測者の立場を非慣性系と呼びます。急発進・急停止する電車の中、カーブを曲がる自動車の中、上昇・下降するエレベーターの中などが非慣性系の例です。非慣性系では、運動方程式 $ma=F$ をそのままの形で使うことができません。

慣性力

非慣性系でも運動方程式と同じ形の式を使えるようにするために、実際にはたらいていない見かけ上の力を追加する、という工夫をします。この見かけの力を慣性力と呼びます。

観測者自身が、地面(慣性系)から見て加速度 $\vec{a}$ で動いているとします。このとき、その観測者から見ると、あらゆる物体に対して、

$\vec{F}\,' = -m\vec{a}$

という慣性力がはたらいているように見えます。ここで $m$ は、慣性力を感じる物体自身の質量です。マイナスの符号がついていることに注目してください。これは、慣性力の向きが、観測者自身の加速度の向きと反対であることを表しています。

電車が前向きに加速度 $a$ で加速しているとき、電車に乗っている人(非慣性系の観測者)から見ると、車内のすべての物体には、加速度と逆向き(後ろ向き)に大きさ $ma$ の慣性力がはたらいているように見えます。これが、急発進した電車で体が後ろに引っ張られるように感じる理由です。

慣性力は、地面に立っている(慣性系の)観測者からは存在しない、あくまで非慣性系の観測者だけに見える見かけの力である、という点をしっかり区別してください。地面から見れば、電車の中の人は単に摩擦力によって前向きに加速させられているだけで、後ろ向きの力などはたらいていません。

遠心力

等速円運動をしている物体と一緒に回転する観測者(たとえば、回転する円盤の上に立っている人)の立場を考えます。これは非慣性系の一種です。等速円運動している物体には、中心方向を向く向心加速度 $a=r\omega^2$ が生じているので、この観測者から見ると、慣性力の公式 $\vec{F}\,'=-m\vec{a}$ にしたがって、向心加速度と逆向き、つまり円の中心から外側へ向かう向きの慣性力が現れることになります。この、円運動にともなう特別な慣性力を遠心力と呼びます。

遠心力の大きさは、慣性力の大きさの式に向心加速度の大きさ $a=r\omega^2=\dfrac{v^2}{r}$ を代入すれば求まります。

$F\,' = ma = mr\omega^2 = \frac{mv^2}{r}$

向心力の大きさの式と、遠心力の大きさの式はまったく同じ形をしていますが、その意味は異なります。向心力は、地面に静止した観測者(慣性系)から見て、物体を円運動させるために実際にはたらいている力(糸の張力など)そのものです。一方、遠心力は、物体と一緒に回転する観測者(非慣性系)から見たときにだけ現れる見かけの力です。カーブを曲がる自動車の中で、体が外側に押し出されるように感じるのは、この遠心力によるものです。地面に立っている人から見れば、実際には自動車(と中の人)が向心力によって内側に引っ張られながら曲がっているだけで、外側に押し出す力は存在しません。

このように、同じ現象でも「どの立場(慣性系か非慣性系か)から見ているか」を意識することが、この節の最も重要なポイントです。

例題

例題1(基本)

問題

エレベーターが上向きに加速度2.0 m/s²で加速しています。エレベーターの中に乗っている質量60 kgの人が感じる慣性力の大きさと向きを求めなさい。

解答・解説を見る

慣性力の公式 $F\,'=-ma$ を使います。観測者(エレベーターに乗っている人)自身の加速度は上向きに2.0 m/s²なので、慣性力はこの加速度と逆向き、つまり下向きにはたらきます。大きさは、

$F\,' = ma = 60\times2.0 = 120 \text{ N}$

したがって、慣性力の大きさは120 N、向きは下向きです。エレベーターが上向きに加速し始めるとき、体が沈み込むように重く感じるのは、この下向きの慣性力(実際の重力に加えて、見かけ上さらに下向きに押されるように感じる力)のためです。

例題2(標準)

問題

質量1000 kgの自動車が、半径50 mのカーブを、速さ10 m/sで等速円運動しながら曲がっています。自動車と一緒に動く観測者(運転手)から見たときに感じる遠心力の大きさを求めなさい。

解答・解説を見る

遠心力の大きさの公式 $F\,'=\dfrac{mv^2}{r}$ を使います。

$F\,' = \frac{mv^2}{r} = \frac{1000\times10^2}{50} = \frac{1000\times100}{50} = \frac{100000}{50} = 2000 \text{ N}$

したがって、運転手が感じる遠心力の大きさは2000 Nです。この力は、カーブの外側に向かってはたらくため、運転手はカーブの外側に押し出されるように感じます。

例題3(応用)

問題

水平な台の上に置かれた質量2.0 kgの物体が、台と一緒に半径1.0 mの円運動をしています。物体と台の間の静止摩擦力の最大値が9.0 Nであるとき、物体がすべり出さずに一緒に回転できる最大の角速度を求めなさい。

解答・解説を見る

地面に静止した観測者(慣性系)の立場で考えます。物体が台と一緒に等速円運動をしているとき、物体を円運動させる向心力の役割を果たしているのは、台との間にはたらく静止摩擦力です。物体がすべり出さない限界は、必要な向心力の大きさが、静止摩擦力の最大値とちょうど等しくなるときです。

向心力の式 $F=mr\omega^2$ に、摩擦力の最大値 $9.0$ Nを当てはめます。

$9.0 = mr\omega^2 = 2.0\times1.0\times\omega^2$

$9.0 = 2.0\,\omega^2$

$\omega^2 = \frac{9.0}{2.0} = 4.5$

$\omega = \sqrt{4.5} \approx 2.1 \text{ rad/s}$

したがって、物体がすべり出さずに回転できる最大の角速度は約2.1 rad/sです。

この問題を、物体と一緒に回転する観測者(非慣性系)の立場から見ると、「物体には外向きの遠心力 $mr\omega^2$ がはたらいており、これが内向きの静止摩擦力とつり合うことで物体は静止して見える」と説明することもできます。どちらの立場で考えても、同じ結論($mr\omega^2=$ 摩擦力の最大値、のときが限界)に達することを確認してください。

練習問題

問題

自動車が急ブレーキをかけ、大きさ4.0 m/s²の加速度(進行方向と逆向き)で減速しています。車内にいる質量50 kgの人が感じる慣性力の大きさと向きを求めなさい。

答え

慣性力の大きさは $F\,'=ma=50\times4.0=200$ N。観測者(車内の人)自身の加速度が進行方向と逆向き(減速方向)なので、慣性力はその加速度とさらに逆向き、つまり進行方向と同じ向き(前向き)にはたらきます。