物理 / 原子
頻出解法パターン
パターン1: 光電効果の最大運動エネルギーを求める
こんな問題で使う
金属の仕事関数と、当てる光の振動数(または波長)が与えられ、飛び出す光電子の最大運動エネルギーや、阻止電圧を求める問題。
解法の手順
- 振動数 $\nu$ が与えられていなければ、波長 $\lambda$ から $\nu=\dfrac{c}{\lambda}$ で求める。
- 光子のエネルギー $h\nu$ を計算する。
- アインシュタインの光電方程式 $K_{max}=h\nu-W$ に代入する。値が負になった場合は、光電子は飛び出さないと判断する。
- 阻止電圧を求める必要があれば、$eV_0=K_{max}$ の関係から $V_0=\dfrac{K_{max}}{e}$ を計算する。
具体例
$\lambda=4.0\times10^{-7}\ \mathrm{m}$、$W=3.0\times10^{-19}\ \mathrm{J}$ のとき、$\nu=\dfrac{3.0\times10^8}{4.0\times10^{-7}}=7.5\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$、$h\nu=6.6\times10^{-34}\times7.5\times10^{14}=4.95\times10^{-19}\ \mathrm{J}$、$K_{max}=4.95\times10^{-19}-3.0\times10^{-19}=1.95\times10^{-19}\ \mathrm{J}$
パターン2: 限界振動数・限界波長を求める
こんな問題で使う
仕事関数から、光電効果が起こるために最低限必要な振動数や波長を求める問題。
解法の手順
- 限界振動数は $h\nu_0=W$ を満たすので、$\nu_0=\dfrac{W}{h}$ で求める。
- 限界波長が必要なら、$c=\nu_0\lambda_0$ の関係から $\lambda_0=\dfrac{c}{\nu_0}$ で求める。
具体例
$W=3.3\times10^{-19}\ \mathrm{J}$ のとき、$\nu_0=\dfrac{3.3\times10^{-19}}{6.6\times10^{-34}}=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$、$\lambda_0=\dfrac{3.0\times10^8}{5.0\times10^{14}}=6.0\times10^{-7}\ \mathrm{m}$
パターン3: ド・ブロイ波長を求める
こんな問題で使う
粒子の質量・速度(または運動エネルギー)が与えられ、その粒子の物質波の波長を求める問題。
解法の手順
- 速度 $v$ が与えられていれば、運動量 $p=mv$ を計算する。運動エネルギー $K$ が与えられていれば、$p=\sqrt{2mK}$ で運動量を求める。
- 求めた運動量を $\lambda=\dfrac{h}{p}$ に代入する。
具体例
$m=9.1\times10^{-31}\ \mathrm{kg}$、$v=1.0\times10^6\ \mathrm{m/s}$ のとき、$p=9.1\times10^{-25}\ \mathrm{kg\cdot m/s}$、$\lambda=\dfrac{6.6\times10^{-34}}{9.1\times10^{-25}}\approx7.3\times10^{-10}\ \mathrm{m}$
パターン4: ボーアモデルの準位差から光の波長・振動数を求める
こんな問題で使う
水素原子の電子が2つの準位の間を遷移するときに、放出または吸収される光の波長や振動数を求める問題。
解法の手順
- $E_n=\dfrac{E_1}{n^2}$($E_1=-13.6\ \mathrm{eV}$)で、関係する準位のエネルギーをそれぞれ求める。
- エネルギーの高い準位から低い準位を引いて、エネルギー差 $\Delta E$ を求め(必ず正の値になるように、大きい方から小さい方を引く)、$\mathrm{eV}$ からジュールに変換する。
- $h\nu=\Delta E$ から $\nu=\dfrac{\Delta E}{h}$、または $\dfrac{hc}{\lambda}=\Delta E$ から $\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}$ を計算する。
具体例
$n=3\to n=2$ の遷移のとき、$E_3=-1.51\ \mathrm{eV}$、$E_2=-3.4\ \mathrm{eV}$、$\Delta E=1.89\ \mathrm{eV}\approx3.02\times10^{-19}\ \mathrm{J}$、$\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}\approx6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}$
パターン5: 質量欠損から結合エネルギーを求める
こんな問題で使う
原子核をつくる陽子・中性子の質量と、実際の原子核の質量が与えられ、結合エネルギーを求める問題。
解法の手順
- 陽子の質量の和と中性子の質量の和を計算し、原子核の質量を引いて質量欠損 $\Delta m$($\mathrm{u}$単位のまま)を求める。
- $\Delta m$ をキログラムに変換する($\times1.66\times10^{-27}$)。
- $E=\Delta m\,c^2$($c^2=9.0\times10^{16}\ \mathrm{m^2/s^2}$)でジュールに直す。
- 必要なら $\mathrm{MeV}$ に変換する($\div1.6\times10^{-13}$)。
具体例
$\Delta m=0.0300\ \mathrm{u}$ のとき、$\Delta m$(kg)$\approx4.98\times10^{-29}\ \mathrm{kg}$、$E\approx4.48\times10^{-12}\ \mathrm{J}\approx28.0\ \mathrm{MeV}$
パターン6: 半減期の式を使って残存量・経過時間を求める
こんな問題で使う
放射性物質の残存量、経過時間、あるいは半減期そのものを求める問題。
解法の手順
- 与えられた比 $\dfrac{N}{N_0}$ を $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\text{何か}}$ の形に直せないか考える。きれいな分数($\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}$など)であれば、その指数がそのまま $\dfrac{t}{T}$ になる。
- きれいな分数にならない場合は、両辺の常用対数をとり、$\log_{10}2\approx0.301$ を使って $\dfrac{t}{T}$ を計算する。
- $\dfrac{t}{T}$ の値と、$t$・$T$ のうちわかっている方から、残りの一方を求める。
具体例
$\dfrac{N}{N_0}=\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ のとき $\dfrac{t}{T}=2$。半減期 $T=5730$ 年(炭素14)なら、$t=2\times5730=11460$ 年
パターン7: 核反応式の質量数・原子番号の保存から未知の原子核を求める
こんな問題で使う
核反応式の中に未知の原子核や粒子が含まれていて、それが何であるかを特定する問題。
解法の手順
- 反応式の左辺と右辺で、質量数の合計が等しいという式を立てる。
- 反応式の左辺と右辺で、原子番号の合計が等しいという式を立てる。
- 2つの式から未知の原子核の質量数 $A$ と原子番号 $Z$ を求め、原子番号 $Z$ から周期表でその元素名を確認する。
具体例
$n+{}^{235}_{92}\mathrm{U}\to X+{}^{92}_{36}\mathrm{Kr}+3n$ のとき、質量数は $X$ の質量数 $=235+1-92-3=141$、原子番号は $X$ の原子番号 $=92-36-0=56$ となり、$X$ はバリウム $^{141}_{56}\mathrm{Ba}$ だとわかる。