章末問題

振動数は $\nu = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3.0\times10^8}{3.0\times10^{-7}} = 1.0\times10^{15}\ \mathrm{Hz}$

光子のエネルギーは $h\nu = 6.6\times10^{-34}\times1.0\times10^{15} = 6.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$

最大運動エネルギーは、

$K_{max} = h\nu - W = 6.6\times10^{-19} - 2.0\times10^{-19} = 4.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$

阻止電圧は $eV_0=K_{max}$ より、

$V_0 = \frac{4.6\times10^{-19}}{1.6\times10^{-19}} \approx 2.9\ \mathrm{V}$

答え:最大運動エネルギーは $4.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$、阻止電圧は約 $2.9\ \mathrm{V}$

運動量は $p=\sqrt{2mK}$ より、

$2mK = 2\times9.1\times10^{-31}\times2.0\times10^{-17} = 3.64\times10^{-47}$

$p = \sqrt{3.64\times10^{-47}} \approx 6.0\times10^{-24}\ \mathrm{kg\cdot m/s}$

ド・ブロイ波長は、

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.6\times10^{-34}}{6.0\times10^{-24}} \approx 1.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}$

答え:約 $1.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}$

$E_5 = \dfrac{-13.6}{5^2} = \dfrac{-13.6}{25} = -0.544\ \mathrm{eV}$

$E_2 = \dfrac{-13.6}{2^2} = -3.4\ \mathrm{eV}$

$\Delta E = E_5 - E_2 = -0.544-(-3.4) = 2.856\ \mathrm{eV} \approx 4.57\times10^{-19}\ \mathrm{J}$

波長は、

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.6\times10^{-34}\times3.0\times10^{8}}{4.57\times10^{-19}} \approx 4.3\times10^{-7}\ \mathrm{m}$

答え:エネルギーは約 $2.86\ \mathrm{eV}$、波長は約 $4.3\times10^{-7}\ \mathrm{m}$(可視光の範囲)

$\Delta m = 0.030\times1.66\times10^{-27} \approx 4.98\times10^{-29}\ \mathrm{kg}$

$E = \Delta m\,c^2 \approx 4.98\times10^{-29}\times9.0\times10^{16} \approx 4.48\times10^{-12}\ \mathrm{J}$

$E \approx \frac{4.48\times10^{-12}}{1.6\times10^{-13}} \approx 28\ \mathrm{MeV}$

答え:約 $4.48\times10^{-12}\ \mathrm{J}$(約 $28\ \mathrm{MeV}$)

$\frac{t}{T} = \frac{18}{6} = 3$

$N = 1000\times\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1000\times\frac{1}{8} = 125$

答え:$125$ 個

$0.2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}0.2 = \frac{t}{T}\log_{10}\frac{1}{2}$

$\log_{10}0.2 = \log_{10}2 - \log_{10}10 = 0.301-1 = -0.699$、$\log_{10}\dfrac{1}{2} = -0.301$ なので、

$-0.699 = \frac{t}{T}\times(-0.301)$

$\frac{t}{T} = \frac{0.699}{0.301} \approx 2.32$

$t=15$ を代入すると、

$T = \frac{15}{2.32} \approx 6.5\ \text{日}$

答え:約 $6.5$ 日

質量数の保存より、$X$ の質量数を $A$ とすると、

$1 + 235 = A + 92 + 3$

$A = 236 - 95 = 141$

原子番号の保存より、$X$ の原子番号を $Z$ とすると、

$0 + 92 = Z + 36 + 0$

$Z = 92 - 36 = 56$

原子番号 $56$ の元素はバリウム(Ba)なので、$X = {}^{141}_{56}\mathrm{Ba}$ です。

エネルギーは、

$\Delta m = 0.198\times1.66\times10^{-27} \approx 3.29\times10^{-28}\ \mathrm{kg}$

$E = \Delta m\,c^2 \approx 3.29\times10^{-28}\times9.0\times10^{16} \approx 2.96\times10^{-11}\ \mathrm{J} \approx 185\ \mathrm{MeV}$

答え:$X$ はバリウム $^{141}_{56}\mathrm{Ba}$、放出されるエネルギーは約 $185\ \mathrm{MeV}$

まず光電効果の式で最大運動エネルギーを求めます。

$h\nu = 6.6\times10^{-34}\times1.0\times10^{15} = 6.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$

$K_{max} = 6.6\times10^{-19} - 3.0\times10^{-19} = 3.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}$

次に、$K_{max}=\dfrac{1}{2}mv^2$ から速さを求めます。

$v^2 = \frac{2K_{max}}{m} = \frac{2\times3.6\times10^{-19}}{9.1\times10^{-31}} \approx 7.9\times10^{11}$

$v \approx 8.9\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$

運動量は、

$p = mv = 9.1\times10^{-31}\times8.9\times10^{5} \approx 8.1\times10^{-25}\ \mathrm{kg\cdot m/s}$

ド・ブロイ波長は、

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.6\times10^{-34}}{8.1\times10^{-25}} \approx 8.2\times10^{-10}\ \mathrm{m}$

答え:約 $8.2\times10^{-10}\ \mathrm{m}$

この問題は、光電効果で飛び出した電子(粒子)にも、ド・ブロイ波長という波としての性質があるという、2つのトピックのつながりを確認する問題です。