状態方程式(ボイル・シャルルの法則)

要点整理

前のページの復習

前のページでは、気体分子の運動から、圧力・体積・分子数・温度の関係として、

$pV = NkT$

という式を導きました。実は、この式は、実験によって古くから知られていたボイルの法則やシャルルの法則と完全に一致します。このページでは、実験事実の側から出発して、気体の状態を表す量(圧力$p$・体積$V$・絶対温度$T$)どうしの関係を整理していきましょう。

ボイルの法則

温度を一定に保ったまま気体を圧縮したり膨張させたりすると、圧力$p$と体積$V$の間に、

$pV = 一定$

という関係が成り立ちます。これをボイルの法則と呼びます。ある状態(圧力$p_1$、体積$V_1$)から、温度を変えずに別の状態(圧力$p_2$、体積$V_2$)に変化させたとすると、

$p_1V_1 = p_2V_2$

が成り立ちます。体積を半分に圧縮すれば圧力は2倍になる、というように、圧力と体積は反比例の関係にあります。

シャルルの法則

今度は、圧力を一定に保ったまま気体を加熱したり冷却したりする場合を考えます。このとき、体積$V$と絶対温度$T$の間には、

$\frac{V}{T} = 一定$

という関係が成り立ちます。これをシャルルの法則と呼びます。圧力を変えずに状態1(体積$V_1$、絶対温度$T_1$)から状態2(体積$V_2$、絶対温度$T_2$)に変化させたとすると、

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

が成り立ちます。ここで温度は必ず絶対温度(単位 $\mathrm{K}$)を使うことに注意してください。セルシウス温度$t\ [\mathrm{℃}]$から絶対温度$T\ [\mathrm{K}]$への変換は、

$T = t + 273$

です。この変換を忘れると、比例計算が正しくできなくなってしまいます。

ボイル・シャルルの法則

ボイルの法則とシャルルの法則を1つにまとめると、圧力・体積・温度がどれも変化する場合について、次の関係が成り立つことが分かります。

$\frac{pV}{T} = 一定$

つまり、状態1(圧力$p_1$、体積$V_1$、絶対温度$T_1$)から状態2(圧力$p_2$、体積$V_2$、絶対温度$T_2$)に変化したとき、

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

が成り立ちます。これをボイル・シャルルの法則と呼びます。圧力が一定ならこの式はシャルルの法則に、温度が一定ならボイルの法則に、それぞれ帰着します。

状態方程式

ボイル・シャルルの法則の「一定」の値は、実は気体の量(物質量$n$、単位 $\mathrm{mol}$)に比例することが分かっています。この比例定数を気体定数$R$と呼び、

$\frac{pV}{T} = nR$

つまり、

$pV = nRT$

と書けます。これを気体の状態方程式と呼びます。気体定数は $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ という値で、気体の種類によらず共通です。この式1つで、ボイルの法則もシャルルの法則も、ボイル・シャルルの法則も、すべて表すことができます。

なお、状態方程式で計算するときは、圧力は $\mathrm{Pa}$、体積は $\mathrm{m^3}$、温度は $\mathrm{K}$ で統一する必要があります。体積の単位でよく使われる $\mathrm{L}$(リットル)は、$1\ \mathrm{L} = 1\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ なので、計算の前に必ず変換しておきましょう。

下のシミュレーションで、温度や体積を変えたときに圧力がどのように変化するかを確認してみましょう。気体の量は $n = 1.0\ \mathrm{mol}$ で固定しています。

黒い横棒がピストン(気体の上ぶた)です。体積を小さくしたり、温度を上げたりすると、圧力の値が大きくなることを確認してください。

例題

例題1(基本)

問題

温度を一定に保ったまま、体積 $2.0\ \mathrm{L}$、圧力 $1.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$ の気体を圧縮して、体積を $0.50\ \mathrm{L}$ にした。このときの圧力を求めよ。

解答・解説を見る

温度が一定なので、ボイルの法則 $p_1V_1 = p_2V_2$ が使えます。$p_1 = 1.0\times10^{5}$、$V_1 = 2.0$、$V_2 = 0.50$ を代入します。

$1.0\times10^{5}\times 2.0 = p_2\times 0.50$

左辺を計算すると、

$2.0\times10^{5} = 0.50\, p_2$

両辺を$0.50$で割ると、

$p_2 = \frac{2.0\times10^{5}}{0.50} = 4.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

体積の単位はリットルのままで構いません。ボイルの法則は比の関係なので、$V_1$と$V_2$が同じ単位でそろっていれば、単位変換をしなくても計算できます。

答え:$p_2 = 4.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

例題2(標準)

問題

圧力を一定に保ったまま、温度 $27\ \mathrm{℃}$ で体積 $3.0\ \mathrm{L}$ の気体を、温度 $127\ \mathrm{℃}$ まで加熱した。このときの体積を求めよ。

解答・解説を見る

まず、セルシウス温度を絶対温度に変換します。$T = t + 273$ より、

$T_1 = 27 + 273 = 300\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 127 + 273 = 400\ \mathrm{K}$

圧力が一定なので、シャルルの法則 $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$ が使えます。$V_1 = 3.0$、$T_1 = 300$、$T_2 = 400$ を代入します。

$\frac{3.0}{300} = \frac{V_2}{400}$

両辺に$400$をかけると、

$V_2 = \frac{3.0\times 400}{300} = \frac{1200}{300} = 4.0\ \mathrm{L}$

答え:$V_2 = 4.0\ \mathrm{L}$

温度を絶対温度に変換し忘れて、$27$や$127$をそのまま代入してしまう誤りが非常に多いので注意しましょう。

例題3(応用)

問題

$0.50\ \mathrm{mol}$ の気体が、体積 $8.31\ \mathrm{L}$、温度 $300\ \mathrm{K}$ の状態にある。このときの圧力を求めよ。気体定数は $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ とする。

解答・解説を見る

状態方程式 $pV = nRT$ を使います。まず、体積の単位を $\mathrm{m^3}$ に変換します。$1\ \mathrm{L} = 1\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ なので、

$V = 8.31\ \mathrm{L} = 8.31\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$

状態方程式を$p$について解くと、$p = \dfrac{nRT}{V}$ です。数値を代入します。分子は、

$nRT = 0.50\times 8.31\times 300$

$0.50\times8.31 = 4.155$、これに$300$をかけて、$nRT = 1246.5$ です。

分母は $V = 8.31\times10^{-3}$ なので、

$p = \frac{1246.5}{8.31\times10^{-3}}$

分子と分母をともに$8.31$で割ると、分子は $1246.5\div8.31 = 150$、分母は $10^{-3}$ になるので、

$p = \frac{150}{10^{-3}} = 150\times10^{3} = 1.5\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

答え:$p = 1.5\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$

このように、体積の数値が気体定数と同じ$8.31$になるように問題を作ると、計算の途中で$8.31$どうしが約分されてきれいな数になります。実際の入試問題でもよく使われる工夫です。

練習問題

問題

$1.0\ \mathrm{mol}$ の気体を、圧力 $1.0\times10^{5}\ \mathrm{Pa}$、温度 $273\ \mathrm{K}$(標準状態に近い状態)で保つとき、体積は何 $\mathrm{m^3}$ になるか。気体定数は $R = 8.31\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ とする。

答え

$V = \dfrac{nRT}{p} = \dfrac{1.0\times8.31\times273}{1.0\times10^{5}} = \dfrac{2268.63}{1.0\times10^{5}} \approx 2.3\times10^{-2}\ \mathrm{m^3}$(約 $23\ \mathrm{L}$)