光の反射・屈折

要点整理

これまでの単元で学んだ「波」の性質は、光にもそのままあてはまります。ここでは、光が鏡やガラスなどの境界面に当たったときに起こる、反射と屈折という2つの現象を、角度の式で表します。

反射の法則

光が鏡のような境界面に当たってはね返るとき、境界面に垂直な線(法線)を基準にして、入射光がつくる角(入射角 $\theta_i$)と、反射光がつくる角(反射角 $\theta_r$)は等しくなります。

$\theta_i = \theta_r$

これは物理基礎で学んだ「反射の法則」と同じ内容です。入射光・法線・反射光は同じ平面上にあり、法線をはさんで入射光と反射光は反対側にあります。

屈折率

光が、ある物質から別の物質へ進むとき、物質によって光の速さが変わるため、境界面で進む向きが変わります。これを「屈折」といいます。

物質ごとの光の伝わりやすさを表す量が「屈折率」です。真空中の光の速さを $c$(およそ $3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$)、ある物質中での光の速さを $v$ とすると、その物質の屈折率 $n$ は、

$n = \frac{c}{v}$

で定義されます。屈折率が大きい物質ほど、その中では光の速さが遅くなります。

屈折の法則(スネルの法則)

屈折率 $n_1$ の物質から屈折率 $n_2$ の物質へ光が進むとき、入射角を $\theta_1$、屈折角を $\theta_2$ とすると、次の関係が成り立ちます。

$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$

これを「屈折の法則」または「スネルの法則」といいます。なぜこの式が成り立つのかという詳しい証明(波面の考え方を使った導出)は、公式集の証明ページで扱います。ここでは、まずこの式の使い方に慣れましょう。

速さ・波長との関係

屈折率の定義 $n_1=\dfrac{c}{v_1}$、$n_2=\dfrac{c}{v_2}$ を、それぞれ $v_1$、$v_2$ について解くと、

$v_1 = \frac{c}{n_1},\qquad v_2 = \frac{c}{n_2}$

この2つの比を取ると、

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{c/n_1}{c/n_2} = \frac{n_2}{n_1}$

一方、光が境界面を通過しても振動数 $f$ は変わりません(境界面がその振動数で光を送り出し続けるイメージです)。波の基本式 $v=f\lambda$ より $\lambda=\dfrac{v}{f}$ なので、

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1/f}{v_2/f} = \frac{v_1}{v_2}$

以上をまとめると、

$\frac{n_2}{n_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$

という関係が得られます。屈折率が大きい物質ほど、その中では光の速さが遅く、波長が短くなります。

下のシミュレーションで、入射角と下側の媒質の屈折率を変えながら、反射光・屈折光の向きがどう変わるか確認してみましょう(上側の媒質は空気、$n_1=1.0$ とします)。

例題

例題1(基本)

問題

空気($n_1=1.0$)から屈折率 $n_2=1.5$ のガラスへ、入射角 $30°$ で光が入射した。屈折角 $\theta_2$ を求めよ。

解答・解説を見る

スネルの法則 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ に、$n_1=1.0$、$\theta_1=30°$、$n_2=1.5$ を代入します。

$1.0\times\sin30° = 1.5\times\sin\theta_2$

$\sin30°=0.5$ なので、

$0.5 = 1.5\sin\theta_2$

両辺を $1.5$ で割ると、

$\sin\theta_2 = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \approx 0.33$

$\theta_2 = \sin^{-1}(0.33) \approx 19.5°$

答え:$\theta_2\approx 19.5°$

例題2(標準)

問題

屈折率 $n_A=1.2$ の媒質 $A$ から媒質 $B$ へ光が進み、入射角 $45°$、屈折角 $30°$ であった。媒質 $B$ の屈折率 $n_B$ を求めよ。

解答・解説を見る

スネルの法則より、

$n_A\sin45° = n_B\sin30°$

$1.2\times\frac{\sqrt{2}}{2} = n_B\times 0.5$

左辺を計算すると、$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$ なので、

$1.2\times0.7071 \approx 0.849$

したがって、

$n_B = \frac{0.849}{0.5} \approx 1.70$

答え:$n_B\approx 1.70$

例題3(応用)

問題

真空中の光の速さを $c=3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ とする。あるガラス中での光の速さが $2.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$ であった。(1)このガラスの屈折率 $n$ を求めよ。(2)真空中での波長が $600\ \mathrm{nm}$ の光が、このガラスに入ったときの波長を求めよ。

解答・解説を見る

(1) 屈折率の定義 $n=\dfrac{c}{v}$ に代入すると、

$n = \frac{3.0\times10^8}{2.0\times10^8} = 1.5$

(2) 真空(屈折率1)からガラス(屈折率 $n=1.5$)に入るので、

$\frac{n}{1} = \frac{\lambda_{\text{真空}}}{\lambda_{\text{ガラス}}}$

の関係を使います(屈折率が大きい方が波長は短くなります)。整理すると $\lambda_{\text{ガラス}} = \dfrac{\lambda_{\text{真空}}}{n}$ なので、

$\lambda_{\text{ガラス}} = \frac{600}{1.5} = 400\ \mathrm{nm}$

答え:(1) $n=1.5$ (2) $400\ \mathrm{nm}$

練習問題

問題

空気から水($n=1.33$)へ、入射角 $50°$ で光が入射した。屈折角を求めよ($\sin50°\approx0.77$ とする)。

答え

$\sin\theta_2 = \dfrac{\sin50°}{1.33} \approx \dfrac{0.77}{1.33} \approx 0.58$ より、$\theta_2\approx 35°$