公式の証明・導出
ヤングの実験における干渉縞の間隔の式の導出
関連単元: 物理 波動
証明する内容
2つの細いスリット $S_1$、$S_2$(間隔 $d$)に光を当てると、その先に置いたスクリーン上に、明るい部分と暗い部分が縞模様になって現れます(ヤングの実験)。スリットからスクリーンまでの距離を $L$(ただし $L$ はスリット間隔 $d$ に比べて十分大きいとします)、光の波長を $\lambda$ とすると、隣り合う明るい縞と明るい縞の間隔 $\Delta y$ について、次の式が成り立ちます。
$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$
この証明では、2つのスリットからスクリーン上の点までの道のりの差(経路差)を求め、その経路差が波長の整数倍になる点で光が強め合う、という条件から、この式を導きます。
証明
ステップ1:座標の設定
2つのスリット $S_1$、$S_2$ を通る直線(スリットの並ぶ方向)上に、その中点を原点として、$S_1$ を $\left(0,\dfrac{d}{2}\right)$、$S_2$ を $\left(0,-\dfrac{d}{2}\right)$ とする座標をとります。スクリーンは、スリットの並ぶ直線に平行で、そこから距離 $L$ だけ離れた場所に置かれているとし、スクリーン上の点は $x=L$ の直線上にあるとします。
スクリーン上で、$S_1$、$S_2$ の中点の正面にあたる点を点O($O=(L,0)$)とし、そこから距離 $y$ だけ離れたスクリーン上の点をPとします。すなわち $P=(L,y)$ です。
このとき、$S_1$ から $P$ までの距離を $S_1P$、$S_2$ から $P$ までの距離を $S_2P$ とし、$y>0$ の場合(点Pが $S_1$ に近い側にある場合)を考えます。このとき $S_2P > S_1P$ となります。
ステップ2:2直線がほぼ平行とみなせることを確認する
$L$ は $d$ に比べて十分大きいとします。このとき、$S_1$ から $P$ に向かう向きと、$S_2$ から $P$ に向かう向きは、ほとんど同じ向きになります。なぜなら、$S_1$ と $S_2$ の間隔 $d$ は、$S_1P$ や $S_2P$ の長さ(これは $L$ 程度の大きさ)に比べて非常に小さいため、2点 $S_1$、$S_2$ を「ほぼ同じ1点」とみなしても、点Pへ向かう方向はほとんど変わらないからです。
そこで、この共通の向き(とくに $S_2$ から $P$ へ向かう向き)が、中心軸(点Oから点Pへ向かう向き、つまり $x$ 軸の向き)となす角を $\theta$ とします。この近似のもとでは、
$\tan\theta = \frac{y}{L}$
です。
ステップ3:経路差を求めるための補助線を引く
点 $S_1$ から、直線 $S_2P$ に下ろした垂線の足を点Hとします(つまり、点Hは直線 $S_2P$ 上にあり、$S_1H\perp S_2P$ です)。
ステップ2で確認したように、直線 $S_2P$ の方向は、中心軸($x$ 軸)に対して角 $\theta$ だけ傾いた方向です。線分 $S_1H$ は、この $S_2P$ の方向に垂直な向きを持っています。ある直線を90°回転させると、その直線が $x$ 軸となす角も90°分だけ変わりますが、これは「$y$ 軸(x軸に垂直な軸)からの傾き」で見れば、回転させる前の直線が $x$ 軸から傾いていた角度と同じ角度だけ、$y$ 軸から傾くことを意味します。つまり、$S_2P$ の方向が $x$ 軸に対して角 $\theta$ 傾いているならば、それに垂直な $S_1H$ の方向は、$y$ 軸に対して同じ角 $\theta$ だけ傾いた方向になります。
線分 $S_1S_2$ は、2つのスリットを結ぶ線分であり、$y$ 軸(中心軸に垂直な方向)に沿っています。したがって、線分 $S_1H$ と線分 $S_1S_2$ のなす角(頂点 $S_1$ における角)は、$\theta$ に等しくなります。
三角形 $S_1S_2H$ において、頂点Hが直角($S_1H\perp S_2P$、すなわち $S_1H\perp S_2H$)、頂点 $S_1$ における角が $\theta$、斜辺が $S_1S_2=d$ です。角 $\theta$ に隣り合う辺(頂点 $S_1$ と頂点Hを結ぶ辺)の長さは、
$S_1H = d\cos\theta$
角 $\theta$ の対辺(頂点 $S_2$ と頂点Hを結ぶ辺)の長さは、
$S_2H = d\sin\theta$
と表せます。
ステップ4:$S_1P \approx HP$ となることを確認する
点Hは直線 $S_2P$ 上にあるので、点Hから点Pまでの距離を $HP$ とすると、
$S_2P = S_2H + HP$
の関係があります(点Hが線分 $S_2P$ の間にあるとして)。
また、三角形 $S_1HP$ に注目すると、$S_1H\perp S_2P$ より $S_1H\perp HP$ なので、三角形 $S_1HP$ は点Hで直角になった直角三角形です。三平方の定理より、
$S_1P = \sqrt{HP^2+S_1H^2}$
ここで、$S_1H=d\cos\theta$ は、せいぜい $d$ 程度の大きさですが、$HP$ は $L$ 程度の大きさであり、$L\gg d$ という条件から $HP\gg S_1H$ です。$S_1H$ が $HP$ に比べて非常に小さいとき、
$S_1P = \sqrt{HP^2+S_1H^2} \approx HP$
とみなせます(小さい量の2乗はさらに小さくなるため、無視できます)。
ステップ5:経路差を求める
ステップ4の結果 $S_1P\approx HP$ と、ステップ3の関係 $S_2P=S_2H+HP$ を使うと、
$S_2P - S_1P \approx S_2P - HP = (S_2H+HP) - HP = S_2H$
したがって、ステップ3で求めた $S_2H=d\sin\theta$ を使うと、経路差は
$S_2P - S_1P \approx d\sin\theta$
となります。さらに、$y$ が $L$ に比べて十分小さいとき(スクリーン上で調べる範囲が中心軸の近くであるとき)、角 $\theta$ は小さい角になるので、
$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{L}$
という近似(角が小さいときに成り立つ近似)が使えます。これを代入すると、
$S_2P - S_1P \approx d\times\frac{y}{L} = \frac{dy}{L}$
が得られます。
ステップ6:強め合う条件から、明るい縞の位置を求める
2つのスリットからの光が点Pで強め合う(明るくなる)条件は、経路差が波長 $\lambda$ の整数倍になることです。
$\frac{dy_m}{L} = m\lambda \qquad (m=0,\pm1,\pm2,\cdots)$
これを $y_m$ について解くと、$m$ 番目の明るい縞の位置は、
$y_m = \frac{m\lambda L}{d}$
となります。
ステップ7:縞の間隔を求める
隣り合う明るい縞の位置の差(縞の間隔)$\Delta y$ は、$m$ 番目の縞の位置 $y_m$ と、その隣の $(m+1)$ 番目の縞の位置 $y_{m+1}$ の差として求められます。
$\Delta y = y_{m+1} - y_m = \frac{(m+1)\lambda L}{d} - \frac{m\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$
これが、干渉縞の間隔の式です。
この証明のポイント
この証明では、「観測点が十分遠いとき、2つの発生源から観測点までの2本の線を、ほぼ平行な線とみなして、経路差を垂線の足を使った直角三角形から求める」という考え方を使いました。この考え方は、回折格子など、複数の波源からの干渉を考える他の問題にも応用できます。