運動量保存則の証明

証明する内容

質量 $m_1$、$m_2$ の2つの物体が、一直線上を運動しながら衝突したとします。衝突前の速度をそれぞれ $v_1$、$v_2$、衝突後の速度をそれぞれ $v_1'$、$v_2'$ とします。2つの物体の間にはたらく力(衝突のときに及ぼし合う力)以外に、外部から力がはたらかない場合、衝突の前後で、2物体の運動量の総和は変化しないことを証明します。

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$

証明

ステップ1:力積と運動量の関係を確認する

物体に力 $F$ が時間 $\Delta t$ の間はたらき続けたとき、力 $\times$ 時間である $F\Delta t$ を力積といいます。ニュートンの運動の第2法則(運動方程式)$F=ma$ を使うと、力積と運動量の変化の関係を導くことができます。

質量 $m$ の物体に、一定の力 $F$ が時間 $\Delta t$ の間はたらき、その間に速度が $v$ から $v'$ まで変化したとします。加速度の定義より、

$a=\frac{v'-v}{\Delta t}$

これを運動方程式 $F=ma$ に代入すると、

$F=m\times\frac{v'-v}{\Delta t}$

両辺に $\Delta t$ をかけると、

$F\Delta t=mv'-mv$

ここで、$mv$ を物体の運動量といいます。したがって、

$F\Delta t=(\text{衝突後の運動量})-(\text{衝突前の運動量})$

つまり、「物体が受けた力積は、運動量の変化に等しい」という関係が成り立ちます。これを、力積と運動量の関係といいます。力の大きさが時間とともに変化する場合でも、衝突の時間全体をごく短い時間 $\Delta t$ に区切って、それぞれの短い時間では力がほぼ一定とみなして上の関係を適用し、それらをすべて足し合わせることで、同じ関係(力積の合計=運動量の変化)が成り立つことが分かります。

ステップ2:作用反作用の法則を確認する

物体1が物体2に力 $F_{12}$(物体1が物体2に及ぼす力)を及ぼすとき、必ず物体2も物体1に力 $F_{21}$(物体2が物体1に及ぼす力)を及ぼしていて、この2つの力は、大きさが等しく、向きが反対です。これをニュートンの運動の第3法則(作用反作用の法則)といいます。一直線上の運動として、向きを符号で表すと、

$F_{21}=-F_{12}$

と書けます。物体1と物体2が接触して力を及ぼし合っているのは、衝突が始まってから終わるまでの同じ時間 $\Delta t$ の間です(片方だけが先に力を受けたり、片方だけ長く力を受けたりすることはありません)。

ステップ3:2物体それぞれに力積と運動量の関係を適用する

物体1は、物体2から力 $F_{21}$ を、衝突の間(時間 $\Delta t$)受け続けます。ステップ1の関係を物体1に適用すると、

$F_{21}\Delta t=m_1v_1'-m_1v_1\quad\cdots(1)$

物体2は、物体1から力 $F_{12}$ を、同じ時間 $\Delta t$ の間受け続けます。ステップ1の関係を物体2に適用すると、

$F_{12}\Delta t=m_2v_2'-m_2v_2\quad\cdots(2)$

ステップ4:2式を足し合わせる

(1)式と(2)式の両辺をそれぞれ足し合わせます。

$F_{21}\Delta t+F_{12}\Delta t=(m_1v_1'-m_1v_1)+(m_2v_2'-m_2v_2)$

左辺を整理すると、

$(F_{21}+F_{12})\Delta t=(m_1v_1'-m_1v_1)+(m_2v_2'-m_2v_2)$

ステップ2より、$F_{21}=-F_{12}$ なので、

$F_{21}+F_{12}=-F_{12}+F_{12}=0$

したがって、左辺全体は $0$ になります。

$0=(m_1v_1'-m_1v_1)+(m_2v_2'-m_2v_2)$

右辺を整理すると、

$0=m_1v_1'+m_2v_2'-m_1v_1-m_2v_2$

両辺に $m_1v_1+m_2v_2$ を足すと、

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$

が得られます。これは、衝突前の運動量の総和($m_1v_1+m_2v_2$)と、衝突後の運動量の総和($m_1v_1'+m_2v_2'$)が等しいことを示しています。すなわち、運動量保存則が証明されました。

この証明のポイント

作用反作用の法則によって、2物体が互いに及ぼし合う力は常に打ち消し合うため、外力がなければ「2物体をまとめた1つの系」全体としては力積の合計が $0$ になります。この「内部の力は打ち消し合う」という考え方は、3つ以上の物体からなる系や、衝突以外の相互作用にも応用できる、運動量保存則の本質的な部分です。