等加速度直線運動の公式の導出

証明する内容

加速度が一定である直線運動(等加速度直線運動)において、初速度を $v_0$、加速度を $a$、時刻 $t$ における速度を $v$、時刻 $t$ までの変位を $x$ とすると、次の3つの公式が成り立つことを証明します。

$v = v_0 + at$

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

$v^2 - v_0^2 = 2ax$

1つ目の式は、速度が時間とともにどう変化するかを表す式です。2つ目の式は、時間 $t$ の間に物体がどれだけ進むか(変位)を表す式です。3つ目の式は、時間 $t$ を使わずに、速度と変位の関係だけを表す式です。

証明

ステップ1:加速度の定義から $v=v_0+at$ を導く

加速度とは、単位時間あたりの速度の変化のことです。時刻 $0$ から時刻 $t$ までの間に、速度が $v_0$ から $v$ まで変化したとすると、加速度 $a$ は次のように定義されます。

$a = \frac{v - v_0}{t - 0} = \frac{v-v_0}{t}$

等加速度直線運動では、この $a$ の値は時間によらず一定です。上の式の両辺に $t$ をかけると、

$at = v - v_0$

となります。両辺に $v_0$ を足すと、

$v = v_0 + at$

が得られます。これが1つ目の公式です。

ステップ2:v-tグラフを使って $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ を導く

横軸に時刻 $t$、縦軸に速度 $v$ をとったグラフ(v-tグラフ)を考えます。等加速度直線運動では、速度は時間とともに一定の割合で変化するので、このグラフは直線になります。時刻 $0$ での速度は $v_0$、時刻 $t$ での速度は $v$ ですから、このグラフは、点 $(0, v_0)$ と点 $(t, v)$ を結ぶ直線です。

ここで重要な事実として、v-tグラフとt軸(横軸)で囲まれた部分の面積は、その時間内に物体が進んだ距離(変位)に等しくなります。これは、次のように理解できます。ごく短い時間 $\Delta t$ の間だけを考えると、その間の速度はほぼ一定とみなせるので、その間に進む距離はおよそ「速度 $\times$ $\Delta t$」、つまり細長い長方形の面積で近似できます。時間全体を、このような短い時間に細かく分割して足し合わせると、進んだ距離の合計は、v-tグラフの下側の面積の合計に近づいていきます。分割を限りなく細かくしていくと、この近似は誤差なく成り立つようになるので、変位はちょうどv-tグラフとt軸で囲まれた面積に等しいということになります。

そこで、時刻 $0$ から時刻 $t$ までの変位 $x$ を、台形の面積として計算します。この台形は、上底が $v_0$($t=0$ での高さ)、下底が $v$($t=t$ での高さ)、高さ(横の長さ)が $t$ の台形です。台形の面積の公式「(上底+下底)×高さ÷2」を使うと、

$x = \frac{(v_0+v)}{2}\times t = \frac{1}{2}(v_0+v)t$

となります。この式に、ステップ1で求めた $v=v_0+at$ を代入します。

$x = \frac{1}{2}(v_0 + (v_0+at))t = \frac{1}{2}(2v_0+at)t$

括弧の中を展開すると、

$x = \frac{1}{2}\times 2v_0 t + \frac{1}{2}\times at\times t = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

となり、2つ目の公式

$x = v_0t+\frac{1}{2}at^2$

が得られます。

ステップ3:時間 $t$ を消去して $v^2-v_0^2=2ax$ を導く

ステップ2で使った、台形の面積の式

$x = \frac{1}{2}(v_0+v)t$

をもう一度使います。この式には時刻 $t$ が含まれていますが、これを $v$、$v_0$、$a$ だけの式に置き換えます。ステップ1の式 $v=v_0+at$ を $t$ について解くと、

$at = v-v_0$

$t = \frac{v-v_0}{a}$

となります。これを $x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$ に代入します。

$x = \frac{1}{2}(v_0+v)\times\frac{v-v_0}{a}$

分数をまとめると、

$x = \frac{(v_0+v)(v-v_0)}{2a}$

ここで、分子の $(v_0+v)(v-v_0)$ は、$(v+v_0)(v-v_0)$ の順に並べ替えると、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ の形になっています($A=v$、$B=v_0$ とみなします)。したがって、

$(v_0+v)(v-v_0) = (v+v_0)(v-v_0) = v^2-v_0^2$

これを代入すると、

$x = \frac{v^2-v_0^2}{2a}$

両辺に $2a$ をかけると、

$2ax = v^2-v_0^2$

すなわち、

$v^2-v_0^2=2ax$

が得られます。これが3つ目の公式です。

この証明のポイント

v-tグラフの面積が変位を表すという考え方は、加速度が一定でない運動を含め、速度と変位の関係を考えるときに広く使える大切な考え方です。また、2つの式から共通の文字(ここでは $t$)を消去して新しい関係式を導くという手法も、物理の様々な場面で使う基本的なテクニックです。