点電荷のつくる電場・電位の式の導出

証明する内容

電気量 $Q$ の点電荷から距離 $r$ だけ離れた位置における電場の強さ $E$ は、次の式で表されます。

$E = k\frac{Q}{r^2}$

また、同じ点における電位 $V$(無限遠を基準、つまり無限遠での電位を $0$ とする)は、次の式で表されます。

$V = k\frac{Q}{r}$

ここで $k$ はクーロンの法則の比例定数(クーロン定数)です。この証明では、まずクーロンの法則から電場の式を導き、次に電場を積分するという考え方を使って電位の式を導きます。

証明

ステップ1:クーロンの法則を確認する

クーロンの法則とは、電気量 $Q$ の点電荷と電気量 $q$ の点電荷が、距離 $r$ だけ離れて置かれているとき、両者の間には

$F = k\frac{Qq}{r^2}$

という大きさの力(クーロン力)がはたらく、という法則です($k$ はクーロンの法則の比例定数)。この力は、電気量の積に比例し、距離の2乗に反比例します。

ステップ2:電場の定義を確認する

電場とは、ある点に電気量 $q$ の小さな試験電荷(電場そのものを乱さないくらい小さい電荷)を置いたときに、その電荷が受ける力 $F$ を、電荷の大きさ $q$ で割ったものとして定義されます。

$E = \frac{F}{q}$

電場 $E$ は、その場所に置かれた電荷の大きさによらず、その場所自体が持つ性質(単位電荷あたりに働く力)を表す量です。

ステップ3:点電荷のつくる電場の式を導く

電気量 $Q$ の点電荷から距離 $r$ だけ離れた点に、電気量 $q$ の試験電荷を置いたとします。ステップ1のクーロンの法則より、この試験電荷が受ける力の大きさは、

$F = k\frac{Qq}{r^2}$

です。ステップ2の電場の定義 $E=\dfrac{F}{q}$ に、この $F$ を代入すると、

$E = \frac{F}{q} = \frac{1}{q}\times k\frac{Qq}{r^2} = k\frac{Q}{r^2}$

($q$ が約分されて消えます)となります。したがって、

$E = k\frac{Q}{r^2}$

が得られます。この式には、試験電荷の電気量 $q$ が含まれていないことに注目してください。電場は、点電荷 $Q$ と距離 $r$ だけで決まる、その場所自体の性質だからです。

ステップ4:電位の定義を確認する

電位 $V$ とは、無限遠を基準点(電位 $0$)として、そこから、電場から受ける力に逆らって、単位電気量(電気量 $1$)の正電荷をゆっくりと(運動エネルギーの変化がないように)ある点まで運ぶために外部が行う仕事のことです。

電場 $E$ と電位 $V$ の間には、

$E = -\frac{dV}{dr}$

という関係があることが知られています(これは電位の定義から導かれる関係です)。この式は、「電場は、電位が距離とともにどれだけ急に変化するかを表す量である」ということを意味しています。

ステップ5:電場を積分して電位を求める

ステップ4の関係式を、$dV$ について整理すると、

$dV = -E\,dr$

となります。この両辺を、無限遠($r=\infty$、$V=0$)から、点電荷までの距離 $r$ の点($V=V(r)$)まで積分すると、

$V(r) - V(\infty) = -\int_{\infty}^{r} E\,dr'$

$V(\infty)=0$ であることと、積分区間を入れ替えると符号が変わることを使うと、

$V(r) = -\int_{\infty}^{r} E\,dr' = \int_{r}^{\infty} E\,dr'$

となります。ここに、ステップ3で求めた $E=k\dfrac{Q}{r'^2}$ を代入すると、

$V(r) = \int_{r}^{\infty} k\frac{Q}{r'^2}\,dr' = kQ\int_{r}^{\infty}\frac{1}{r'^2}\,dr'$

この積分を計算します。$\dfrac{1}{r'^2}=r'^{-2}$ の不定積分は $-r'^{-1}=-\dfrac{1}{r'}$ なので、

$\int_{r}^{\infty}\frac{1}{r'^2}\,dr' = \left[-\frac{1}{r'}\right]_{r}^{\infty} = \left(-\frac{1}{\infty}\right) - \left(-\frac{1}{r}\right) = 0 + \frac{1}{r} = \frac{1}{r}$

($r'\to\infty$ のとき $\dfrac{1}{r'}\to 0$ となることを使いました。)したがって、

$V(r) = kQ\times\frac{1}{r} = k\frac{Q}{r}$

が得られます。

(補足:このステップで使った積分の計算は、数学Ⅲの内容にあたり、高校物理の範囲を超える部分もあります。物理の学習としては、「電場を、遠くから近くまで足し集めていくと電位が求まる」という考え方の流れをつかんでおけば十分です。)

この証明のポイント

この証明では、「力を電気量で割って、その場所固有の性質(電場)を取り出す」という考え方と、「電場を距離について積分すると電位が求まる」という、微小な量を足し集めて全体の量を求める考え方を使いました。後者の考え方は、仕事とエネルギーの関係を扱う他の問題にも応用できます。