定常波ができる条件の導出

証明する内容

長さ $L$ の弦の両端を固定して弦を振動させると、ある特定の波長の波だけが安定した振動(定常波)を作ります。この証明では、弦の長さ $L$ と、定常波を作ることができる波の波長 $\lambda$ との間に、次の関係が成り立つことを示します。

$L = n\frac{\lambda}{2} \quad (n=1, 2, 3, \cdots)$

これは、「弦の長さが、半波長の整数倍になっているときにだけ、定常波ができる」ということを意味しています。

証明

ステップ1:座標の設定

弦の一端を原点 $x=0$ に、もう一端を $x=L$ に固定するように、$x$ 軸をとります。弦の上を右向き(+$x$ 方向)に進む波(入射波)と、固定端で反射されて左向き($-x$ 方向)に進む波(反射波)が、弦の上で重なり合っている状況を考えます。

入射波と反射波は、同じ振幅 $A$、同じ角振動数 $\omega$、同じ波数 $k$(波数は波長 $\lambda$ と $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ の関係で結びついています)を持つとします。これは、反射によって波の振幅や振動数が変わらないと考えられるためです。

ステップ2:固定端の条件から、波の式を決める

弦の $x=0$ の端は固定されているので、この点の変位は、どんな時刻 $t$ であっても常に $0$ でなければなりません。

一般に、右向きに進む波は $y=A\sin(kx-\omega t + \phi_1)$、左向きに進む波は $y=A\sin(kx+\omega t+\phi_2)$ という形で表せます($\phi_1$、$\phi_2$ は波の位相を決める定数です)。$x=0$ を原点に選び、時刻の測り方(どの瞬間を $t=0$ とするか)を適切に選ぶと、位相定数を $\phi_1=\phi_2=0$ として、入射波と反射波を、それぞれ

$y_1(x,t) = A\sin(kx-\omega t), \qquad y_2(x,t) = A\sin(kx+\omega t)$

と表すことができます。実際にこの2つの式で $x=0$ における変位の和を計算すると、

$y_1(0,t)+y_2(0,t) = A\sin(-\omega t) + A\sin(\omega t) = -A\sin(\omega t) + A\sin(\omega t) = 0$

となり、確かにどんな時刻 $t$ でも $x=0$ での変位が $0$ になっていることが確認できます。

ステップ3:入射波と反射波を重ね合わせる

弦の上の実際の変位 $y(x,t)$ は、入射波と反射波の重ね合わせ(波の変位を単純に足し合わせたもの)で表されます。

$y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x,t) = A\sin(kx-\omega t) + A\sin(kx+\omega t)$

ここで、三角関数の和を積に直す公式

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

を使います。$\alpha = kx-\omega t$、$\beta = kx+\omega t$ とすると、

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2} = kx, \qquad \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2} = -\omega t$

なので、

$y(x,t) = A\times 2\sin(kx)\cos(-\omega t)$

余弦関数は偶関数($\cos(-\theta)=\cos\theta$)なので、$\cos(-\omega t)=\cos(\omega t)$ となり、

$y(x,t) = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$

が得られます。

この式を見ると、$x=0$ では $\sin(k\times 0)=\sin 0=0$ となるので、どんな時刻でも $y(0,t)=0$ です。これは、ステップ2で確認した固定端の条件と一致しています。

ステップ4:もう一方の固定端の条件を使う

弦のもう一方の端 $x=L$ も固定されているので、この点でもすべての時刻 $t$ について変位が $0$ でなければなりません。ステップ3の式に $x=L$ を代入すると、

$y(L,t) = 2A\sin(kL)\cos(\omega t) = 0$

という条件が、すべての時刻 $t$ について成り立つ必要があります。

もし $\sin(kL)\neq 0$ だとすると、$y(L,t)$ は $\cos(\omega t)$ に比例して振動する量になってしまい、$\cos(\omega t)$ は $t$ によって $0$ でない値をとる瞬間があるので、$y(L,t)$ も $0$ でない瞬間ができてしまいます。これは固定端の条件に反します。

したがって、すべての時刻で $y(L,t)=0$ となるためには、

$\sin(kL) = 0$

でなければなりません。

ステップ5:条件を整理する

$\sin\theta=0$ となるのは、$\theta$ が $\pi$ の整数倍のときです。したがって、

$kL = n\pi \quad (n=1,2,3,\cdots)$

が条件になります($n=0$ は $L=0$ となってしまい、弦が存在しないことになるので除きます)。

ここで、波数 $k$ と波長 $\lambda$ の関係 $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ を代入すると、

$\frac{2\pi}{\lambda}L = n\pi$

両辺を $2\pi$ で割ると、

$\frac{L}{\lambda} = \frac{n}{2}$

すなわち、

$L = n\frac{\lambda}{2} \quad (n=1,2,3,\cdots)$

が得られます。これが、弦の両端を固定したときに定常波ができる条件です。

この証明のポイント

この証明では、「逆向きに進む2つの波を三角関数の和積公式で1つの式にまとめ、境界(固定端)でその式が満たすべき条件を当てはめる」という考え方を使いました。この方法は、弦の振動だけでなく、気柱の振動など、他の定常波の問題にも応用できます。