力学的エネルギー保存則の導出

証明する内容

質量 $m$ の物体に重力だけがはたらいて運動しているとき(空気抵抗や摩擦などの力がはたらかない場合、また垂直抗力のように運動の向きに対して仕事をしない力しかはたらかない場合)、物体の運動エネルギー $K=\frac{1}{2}mv^2$ と、重力による位置エネルギー $U=mgh$($h$は基準面からの高さ)の和である力学的エネルギー

$E = K+U = \frac{1}{2}mv^2+mgh$

は、運動のどの時刻でも同じ値に保たれることを証明します。つまり、運動の途中で運動エネルギーと位置エネルギーが互いに移り変わっても、その合計は変化しないということです。

証明

ステップ1:仕事と運動エネルギーの関係(仕事エネルギー定理)を確認する

まず、物体に力がはたらいて動くとき、その力がした仕事と、物体の運動エネルギーの変化との関係を確認します。これを仕事エネルギー定理といいます。

質量 $m$ の物体に、一定の力 $F$ が運動の向きにはたらき、その向きに距離 $x$ だけ移動したとします。ニュートンの運動方程式より、このときの加速度は $a=\frac{F}{m}$ です。この物体の速さが $v_0$ から $v$ まで変化したとすると、等加速度直線運動の公式より、

$v^2-v_0^2=2ax$

が成り立ちます(この公式の導出は「等加速度直線運動の公式の導出」のページを参照してください)。この式の両辺に $\frac{1}{2}m$ をかけると、

$\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2 = m\times ax$

ここで $a=\frac{F}{m}$ なので、右辺の $ma$ は $F$ に置き換えられます。

$\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2 = Fx$

右辺の $Fx$ は、力 $F$ が物体に対してした仕事です。左辺は、運動エネルギー $K=\frac{1}{2}mv^2$ の変化分 $K-K_0$ です。したがって、

$K - K_0 = Fx$

すなわち、「物体がされた仕事の分だけ、運動エネルギーが変化する」という関係が成り立ちます。これが仕事エネルギー定理です。物体に複数の力がはたらいている場合は、$F$ をすべての力の合力(合力がした仕事の合計)に置き換えて考えます。

ステップ2:重力がする仕事を求める

次に、物体が重力だけを受けて(他の力があっても運動の向きに垂直で仕事をしない場合を含む)、ある地点1から地点2まで移動したときに、重力がする仕事を求めます。

上向きを正として高さの座標 $y$ をとり、地点1の高さを $y_1$、地点2の高さを $y_2$ とします。物体にはたらく重力は、大きさ $mg$ で、向きは常に下向き(座標が減る向き)です。

一般に、物体の移動経路が斜めだったり曲がっていたりする場合でも、重力がする仕事は次のように考えることができます。物体の移動を、水平方向の移動と鉛直方向の移動に分けて考えると、水平方向に移動している間は、重力(鉛直下向き)は移動の向きに対して垂直にはたらいているため、仕事をしません(力の向きと移動の向きが垂直なとき、仕事は $0$ になります)。したがって、重力が仕事をするのは鉛直方向に移動した分だけです。

物体が鉛直方向に $\Delta y$ だけ(上向きを正として)移動する間、重力は大きさ $mg$ で下向きにはたらきます。上向きの移動 $\Delta y>0$ に対しては、重力(下向き)は移動と逆向きなので仕事は負になり、その大きさは $mg\times \Delta y$ です。したがって、この間に重力がする仕事は $-mg\Delta y$ と書けます。

物体の経路全体を、このような細かい鉛直方向の移動 $\Delta y$ の積み重ねとして考えると、経路が曲がっていても、水平方向の移動は仕事に寄与しないため、重力が地点1から地点2までにする仕事の合計は、鉛直方向の移動をすべて足し合わせたものになります。

$W_{重力} = -mg(y_2-y_1)$

これは、実際の経路の形に関係なく、始点の高さ $y_1$ と終点の高さ $y_2$ だけで決まります。

ステップ3:仕事エネルギー定理と組み合わせる

物体には重力以外に仕事をする力がはたらいていないとします(垂直抗力などがあっても、それは運動方向に垂直で仕事をしないとします)。このとき、物体にはたらく力がした仕事の合計は、重力がした仕事だけになります。

$W_{全体} = W_{重力} = -mg(y_2-y_1)$

ステップ1の仕事エネルギー定理 $K_2-K_1=W_{全体}$(地点1での運動エネルギーを $K_1$、地点2での運動エネルギーを $K_2$ とします)に、この式を代入します。

$K_2-K_1 = -mg(y_2-y_1)$

右辺を展開すると、

$K_2-K_1=-mgy_2+mgy_1$

ここで、位置エネルギーを $U=mgy$ と定義すると、$U_1=mgy_1$、$U_2=mgy_2$ と書けるので、

$K_2-K_1=U_1-U_2$

両辺に $K_1+U_2$ を足すと、

$K_2-K_1+K_1+U_2=U_1-U_2+K_1+U_2$

左辺は $K_2+U_2$ に、右辺は $K_1+U_1$ になります。

$K_2+U_2=K_1+U_1$

これは、地点1での力学的エネルギー $K_1+U_1$ と、地点2での力学的エネルギー $K_2+U_2$ が等しいことを示しています。地点1、地点2は運動の途中の任意の2点として選べるので、この関係はいつでも成り立ちます。つまり、

$K+U=\text{一定}$

が証明されました。

この証明のポイント

仕事エネルギー定理(された仕事の分だけ運動エネルギーが変わる)は、力の種類によらず成り立つ一般的な関係です。今回のように、力がする仕事が経路によらず始点と終点の位置だけで決まる場合(このような力を保存力といいます)、その仕事を「位置エネルギーの減少分」として書き直すことで、エネルギー保存則を導くことができます。この考え方は、重力以外の保存力(ばねの弾性力など)についても同じように使えます。