波の基本式 v=fλ の導出

証明する内容

波の速さを $v$、波の振動数(1秒間に振動する回数)を $f$、波長(山から次の山までの距離のように、波の1つの繰り返し単位の長さ)を $\lambda$ とすると、次の関係式(波の基本式)が成り立つことを証明します。

$v = f\lambda$

これは、波の速さが、振動数と波長の積で表せるという式です。

証明

ステップ1:周期と振動数の関係を確認する

波が1回振動するのにかかる時間を周期といい、記号 $T$ で表します。振動数 $f$ は、1秒間に振動する回数のことなので、$T$ 秒かけて1回振動するならば、1秒あたりでは $\frac{1}{T}$ 回振動することになります。したがって、

$f = \frac{1}{T}$

という関係が成り立ちます。この式は、両辺に $T$ をかけると

$fT=1$

すなわち

$T=\frac{1}{f}$

とも書けます。

ステップ2:1周期の間に波はちょうど1波長分進むことを確認する

波の波形(ある瞬間の、媒質の変位のようすを表したグラフ)を考えます。時刻 $0$ での波形と、時刻 $T$(1周期後)での波形を比べます。

波源(波を発生させているところ)は、1周期 $T$ の間にちょうど1回振動して、元の状態(変位や速度の状態)に戻ります。波は、波源から離れた場所に、波源の振動を遅れて伝えていく現象です。波源が1周期分の振動を終えたとき、その振動によって作られた波形1つ分(山と谷を1組含む、長さ $\lambda$ の波形)が、波源から隣の場所へとちょうど送り出されたことになります。

このため、時刻 $T$ での波形は、時刻 $0$ での波形を、波の進む向きにちょうど波長 $\lambda$ の分だけ平行移動した形と一致します。言い換えると、波は時間 $T$(1周期)の間に、距離 $\lambda$(1波長)だけ進むということです。

ステップ3:速さの定義から $v=f\lambda$ を導く

速さとは、単位時間あたりに進む距離のことです。ステップ2より、波は時間 $T$ の間に距離 $\lambda$ だけ進むので、波の速さ $v$ は、

$v = \frac{\lambda}{T}$

と表せます。この式に、ステップ1で求めた $T=\frac{1}{f}$ を代入します。

$v = \frac{\lambda}{\frac{1}{f}}$

分数の割り算は、逆数をかけることと同じなので、

$v = \lambda \times f = f\lambda$

となり、波の基本式

$v=f\lambda$

が得られました。

この証明のポイント

「1つの現象が繰り返される時間(周期)の間に、現象がちょうど1回分だけ進む」という考え方は、波以外にも、円運動や振動など、周期的な現象を扱うときに共通して使える考え方です。速さ・時間・距離の関係(速さ=距離÷時間)に周期の考え方を組み合わせることで、この公式が導けます。