等速円運動の加速度(向心加速度)の導出

証明する内容

半径 $r$ の円周上を、一定の角速度 $\omega$ で回転する運動(等速円運動)をしている物体があるとき、この物体の加速度(向心加速度)は、大きさが

$a=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$

(ただし $v=r\omega$ は物体の速さ)で表され、その向きは、物体のいる位置から円の中心に向かう向きであることを証明します。

証明

ステップ1:座標の設定と、速さ $v$ と角速度 $\omega$ の関係

円の中心を原点 $O$ とする $xy$ 平面を考え、半径 $r$ の円周上を、物体が反時計まわりに一定の角速度 $\omega$ で回転しているとします。角速度とは、単位時間あたりに回転する角度のことです。時刻 $t=0$ に物体が $x$ 軸上の点 $(r,0)$ にいたとすると、時刻 $t$ における、物体の位置を表す角度(x軸から反時計まわりに測った角度)は、

$\theta=\omega t$

となります。角度 $\theta$ の間に物体が進む道のり(弧の長さ)は、半径 $\times$ 角度、すなわち $r\theta$ ですから、時刻 $t$ までに物体が進んだ道のりは $r\theta=r\omega t$ です。物体の速さ $v$ は、この道のりを時間 $t$ で割ったものなので、

$v=\frac{r\omega t}{t}=r\omega$

となります。この関係 $v=r\omega$ は、以降の計算で使います。

ステップ2:時刻 $t$ と、少し後の時刻 $t+\Delta t$ での位置と速度ベクトルを求める

時刻 $t$ での物体の位置を点A、時刻 $t+\Delta t$($\Delta t$ はごく短い時間)での位置を点Bとします。点Aの角度は $\theta=\omega t$、点Bの角度は $\theta+\Delta\theta$(ただし $\Delta\theta=\omega\Delta t$)です。

以下では、計算を簡単にするために、点Aがちょうど $x$ 軸上の点 $(r,0)$ にある瞬間、つまり $\theta=0$ の瞬間を考えます(円運動はどの瞬間についても同じ性質を持つので、この場合だけを調べれば十分です)。

点Aの位置は $(r,0)$ です。点Bの位置は、角度が $\Delta\theta$ だけ進んだ場所なので、

$B=(r\cos\Delta\theta,\ r\sin\Delta\theta)$

です。

円運動をしている物体の速度ベクトルは、その瞬間の位置と中心を結ぶ線分(半径)に対して垂直で、大きさは $v=r\omega$、向きは回転の向き(反時計まわり)を向いています。位置の角度が $\theta$ である点での速度ベクトルの向きは、半径の向き($\theta$)よりも $90°$ 反時計まわりに回転した向き、つまり角度 $\theta+90°$ の向きになります。

したがって、点Aでの速度ベクトル $\vec{v_A}$ は、角度 $0+90°=90°$ の向きに大きさ $v$ を持つベクトルなので、

$\vec{v_A}=(v\cos90°,\ v\sin90°)=(0,\ v)$

点Bでの速度ベクトル $\vec{v_B}$ は、角度 $\Delta\theta+90°$ の向きに大きさ $v$ を持つベクトルなので、

$\vec{v_B}=(v\cos(\Delta\theta+90°),\ v\sin(\Delta\theta+90°))$

三角関数の公式 $\cos(\Delta\theta+90°)=-\sin\Delta\theta$、$\sin(\Delta\theta+90°)=\cos\Delta\theta$ を使うと、

$\vec{v_B}=(-v\sin\Delta\theta,\ v\cos\Delta\theta)$

ステップ3:$\Delta\theta$ が非常に小さいときの近似を使う

$\Delta t$ を非常に小さくとると、$\Delta\theta=\omega\Delta t$ も非常に小さくなります。角度 $\Delta\theta$(ラジアン単位)が十分小さいとき、次の近似が成り立つことが知られています。

$\sin\Delta\theta\approx\Delta\theta,\qquad \cos\Delta\theta\approx1$

(これは、角度が小さいとき、円弧の長さと、それに対応する弦の長さがほとんど等しくなることに対応する近似です。$\Delta\theta$ を $0$ に近づけていくと、この近似の誤差も $0$ に近づきます。)

この近似を $\vec{v_B}$ に使うと、

$\vec{v_B}\approx(-v\Delta\theta,\ v)$

ステップ4:速度ベクトルの変化 $\Delta\vec{v}$ を求める

速度ベクトルの変化 $\Delta\vec{v}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$ を計算します。

$\Delta\vec{v}=(-v\Delta\theta,\ v)-(0,\ v)=(-v\Delta\theta,\ 0)$

この結果は、$\Delta\vec{v}$ が、大きさ $v\Delta\theta$ で、向きは $x$ 軸の負の向き(点A $(r,0)$ から原点 $O$ に向かう向き、すなわち円の中心へ向かう向き)であることを示しています。

ステップ5:加速度の大きさと向きを求める

加速度は、単位時間あたりの速度の変化なので、

$a=\frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{v\Delta\theta}{\Delta t}$

ここで、$\Delta\theta=\omega\Delta t$ なので、

$a=\frac{v\times\omega\Delta t}{\Delta t}=v\omega$

$\Delta t$ が約分されて消えるので、この結果は $\Delta t$ の大きさによらず成り立ちます。したがって、加速度の大きさは、

$a=v\omega$

です。さらに、ステップ1で求めた $v=r\omega$ を使うと、$\omega=\frac{v}{r}$ なので、

$a=v\omega=v\times\frac{v}{r}=\frac{v^2}{r}$

また、$v=r\omega$ を $a=v\omega$ に代入すると、

$a=r\omega\times\omega=r\omega^2$

したがって、

$a=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$

が得られます。また、ステップ4で見たように、$\Delta\vec{v}$、すなわち加速度の向きは、常に物体の位置から円の中心へ向かう向き(向心方向)です。

以上で、等速円運動をしている物体の加速度(向心加速度)は、大きさが $a=r\omega^2=\frac{v^2}{r}$ で、向きが円の中心を向くことが証明されました。

この証明のポイント

速さが一定であっても、向きが変化していれば速度ベクトルは変化しており、加速度は $0$ ではありません。速度ベクトルの変化を、ごく短い時間について座標成分で正確に計算し、その時間を限りなく短くしていく(近似の誤差を $0$ に近づけていく)ことで、瞬間の加速度を求めるという考え方は、円運動に限らず、曲線運動全般の加速度を考えるときの基本的な方法です。